COMMENTATIO SECUNDA.
131
8 «, —{— 9 —{— 4 i,
-Ai, —5 + 2«,
-f- 5 — 8« etc.
atuor numeris
— i, — 1 +«,
i.
onendo a im-
ionem habere,
l quadraticum
ique hanc ele-
rqne ad theo-
nerorum cora-
sint impares,
■e alterius non-
mstratio mag-
inm theorema
mam theoriae
n transeamus.
ion-residui bi-
xorum exten-
qui sunt nu-
n erit, modu-
lum modulum
lua biquadra-
is classes dis-
inda non-resi-
la quadratica.
Sed hic quoque praestat, loco tertiae classis binas stabilire, ut omnino habeantur
quaternae.
Assumta radice quacunque primitiva pro basi, residua biquadratica habe
bunt indices per 4 divisibiles sive formae 4n; non-residua ea, quae sunt resi
dua quadratica, habebunt indices formae 4««+2; denique non-residuorum qua-
draticorum indices erunt partim formae 4w + l , partim formae 4?«+3. Hoc
modo classes quaternae quidem oriuntur, at distinctio inter binas posteriores non
esset absoluta, sed ab electione radicis primitivae pro basi assumtae dependens;
facile enim perspicitur, semissem radicum primitivarum non-residuo quadratico
dato conciliare indicem formae 4w + l, semissem alteram vero indicem formae
4««+3. Quam ambiguitatem ut tollamus, supponemus semper talem radicem
primitivam adoptari, pro qua index — 1) competat numero +« (conf. art.
55, VI). Hoc pacto classificatio oritur, quam concinnius independenter a radici
bus primitivis ita enunciare possumus.
Classis prima contineat numeros k eos, pro quibus fit k^ p ~^ = 1 ; hi nu
meri sunt moduli residua biquadratica.
Classis secunda contineat eos, pro quibus k^ p ~^ = i.
Classis tertia eos, pro quibus k^ p ^ E= — 1.
Classis quarta denique eos, pro quibus k^ p ~^ = —«•
Classis tertia comprehendet non-residua biquadratica ea, quae sunt residua
quadratica; inter secundam et quartam non-residua quadratica distributa erunt.
Numeris harum classium tribuemus resp. characteres biquadraticos 0, 1, 2, 3.
Si characterem X numeri k secundum modulum m ita definimus, ut sit expo
nens eius potestatis ipsius «, cui numerus k~^ p ^ congruus est, manifesto cha
racteres secundum modulum 4 congrui pro aequivalentibus habendi sunt. Cete
rum haec notio tantisper ad modulos eos limitatur, qui sunt numeri primi : in con
tinuatione harum disquisitionum ostendemus, quomodo etiam modulis compositis
adaptari possit.
62.
Quo facilius inductio copiosa circa numerorum characteres adstrui possit, ta
bulam compendiosam hic adiungimus, cuius auxilio character cuiusvis numeii pro
positi respectu moduli, cuius norma valorem 157 non transscendit, levi opeia
obtinetur, dummodo ad observationes sequentes attendatur.
17*
