COMMENTATIO SECUNDA. 
139 
At non obstante summa huius theorematis simplicitate, ipsius demonstratio 
inter mysteria arithmeticae sublimioris maxime recondita referenda est, ita ut, 
saltem ut nunc res est. per subtilissimas tantummodo investigationes enodari pos 
sit, quae limites praesentis commentationis longe transgrederentur. Quamobrem 
promulgationem huius demonstrationis, nec non evolutionem nexus inter hoc theo 
rema atque ea, quae in initio huius commentationis per inductionem stabilire coe 
peramus , ad commentationem tertiam nobis reservamus. Coronidis tamen loco 
iam hic trademus, quae ad demonstrationem theorematum in artt. 63.64 proposi 
torum requiruntur. 
68. 
Initium facimus a numeris primis a-\-bi talibus, pro quibus 6 = 0 (ter 
tia specie art. 34), ubi itaque (ut numerus inter associatos primarius sit) a debet 
esse numerus primus realis negativus formae —(4»-f- 3), pro quo scribemus —q, 
quales sunt —3, —7, —11, —19 etc. Denotando per X characterem numeri 
1-!_#*, illo numero pro modulo accepto, esse debet 
9} = 0.^22— 0 ( mo d. q) 
Sed constat, 2 esse residuum quadraticum, vel non-residuum quadraticum ipsius 
q, prout q sit formae 8w'+7, vel formae 8ra+3, unde colligimus, esse gene 
raliter 
= (—j)4(2+0 = ¿4(2+0 (mod. q) 
adeoque evehendo ad potestatem exponentis 
2^(22—0 = ¿4(2+0* (mod. q) 
Aequatio itaque praecedens hanc formam induit 
¿X ¿4(2+0* + i(22 0 = ¿4(22+2) (mod. q) 
unde sequitur 
X == iiq q + q) = H?+1 )* ■- i {q +1) (mod. 4) 
sive quum habeatur Hi“H1 r ~ 0 (mod. 4), X = —Hi “H0 — '■ ( a 0 ( mo< ^- 0- 
Quod est ipsum theorema art. 63 pro casu 6 = 0. 
18*