140 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
69. 
Longe vero difficilius absolvuntur moduli a-\-hi tales, pro quibus non est 
b — 0 (numeri quartae speciei art. 34), pluresque disquisitiones erunt praemit 
tendae. Normam aa-\-bh, quae erit numerus primus realis formae 4w-j-l, 
designabimus per p. 
Denotetur per S complexus omnium residuorum simpliciter minimorum pro 
modulo a-\-bi = m, exclusa cifra, ita ut multitudo numerorum in S conten 
torum sit = p — 1. Designet x-\-yi indefinite numerum huius systematis, 
statuaturque ax-\-by = i, ay — bx = Yj. Erunt itaque i, Yj integri inter limi 
tes 0 et p exclusive contenti: in casu praesente enim, ubi a, b inter se primi sunt, 
formulae art. 45, puta r¡ = &i, 4 =—&Yj (mod.j?) docent, neutrum numerorum 
4, 7] esse posse = 0, nisi alter simul evanescat, adeoque fiat x — 0 , y — 0. 
quam combinationem iam eiecimus. Criterium itaque numeri x-j-yi in S con 
tenti, consistit in eo, ut quatuor numeri 4, Yj, p — 4, p — T] sint positivi. 
Praeterea observamus pro nullo tali numero esse posse 4 = rj; hinc enim 
sequeretur p{x-\-y) = a (i -j- rj) b [i—T]) = 2 ai, quod est absurdum, quum nul 
lus factorum 2, a, i per p divisibilis sit. Simili ratione aequatio p[x—y-{-a-\-b) 
= 2ai-\-{a-\-b]{p — i — tj) docet, esse non posse i-j-iq =p. Quapropter quum 
numeri i — tj, p—t, — r] esse debeant vel positivi vel negativi, hinc petimus sub 
divisionem systematis $ in quatuor complexus C, C', C", C", puta ut confi 
ciantur 
in complexum 
numeri pro quibus 
C 
4 — rj positivus, p — 4 — tj positivus 
C' 
4 — Yj positivus, p — 4 — i] negativus 
C" 
4 — Yj negativus, p — 4 — yj negativus 
C" 
4 — Y] negativus, p — 4 — Y] positivus 
Criterium itaque numeri complexus C proprie sextuplex est, puta sex numeri 
4, i], p — 4, p — tj, 4 — tj , p — 4 — il positivi esse debent; sed manifesto condi 
tiones 2, 5 et 6 iam sponte implicant reliquas. Similia circa complexus C\ C", 
C" valent, ita ut criteria completa sint triplicia, puta