142 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
dum modulum m inter complexus C, C', C", C" distributis, multitudo eorum, quae 
ad singulos hos complexus pertinent, resp. per c, c, c", c" denotatur: character nu 
meri k respectu moduli m erit = c -(- 2 c"—{— 3c'" [mod. 4). 
Demonstr. Sint illa c residua minima ad C pertinentia a, h, y, ¿etc.; dein 
c residua ad C' pertinentia haec m-\-ia, m-{-ifi', m-\-iy', m-\-ii)' etc.; porro 
c residua ad C" pertinentia haec (1 -\-i)m — a!', (l-|-i)m — fi", (l-f-i)m — y", 
(1 -\-i)m — ¿" etc.; denique c" residua ad C'" pertinentia haec im — ia", im — ifi"', 
ini—¿y'", im — iV" etc. lam consideremus quatuor producta, scilicet 
1) productum ex omnibus \[p—1) numeris complexum C constituen 
tibus : 
2) productum productorum, quae e multiplicatione singulorum horum nu 
merorum per k orta erant; 
3) productum e residuis minimis horum productorum, puta e numeris a, fi, 
y, d etc., m-\-id, m-j-zh'etc. etc. 
4) productum ex omnibus c-{-c-\~ c "-\-c" numeris a, fi, y, ¿ etc., a!, fi\ y', 
etc., a , o , y , o etc., a , o , y , o etc. 
Denotando haec quatuor producta ordine suo per P, P', P", P'", manifesto erit 
P' = P, P' es P", P' = P"i c '+ “"+ 3C "‘(mod. m) 
et proin 
p£t(?-l) = p’"p'+ 2»"+ 3i" ( mod- 
At facile perspicietur, numeros d, fi', y', Pete., a, fi", y", ¿"etc., d", fi"', y'", ¿"'etc. 
omnes ad complexum C pertinere, atque tum inter se tum a numeris a, fi, y, d etc. 
diversos esse, sicuti hi ipsi inter se diversi sint. Omnes itaque hi numeri simul 
sumti, et abstrahendo ab ordine, prorsus identici esse debent cum omnibus nu 
meris complexum C constituentibus, unde colligimus P = P ", adeoque 
Pii(i-l) = p,V+ 20"+ 30"' 
Denique quum singuli factores producti P per m non sint divisibiles , hinc con 
cluditur 
= ic'+lc"+,c'" ( mod 
unde c—f- 2c"—f- 3c"' erit character numeri k respectu moduli m. Q. E. D.