148 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
Formula itaque pro g in artt. 7 3 et 7 4 inventa, transit in sequentem 
9 — i((a + & ) 2 —l) + 2w—4iV 
statuendo a + 1 — 4n, ubi n erit integer. Sed quum hinc habeatur 
1 = 16nn—8an-\-aa, formula haec etiam sequenti modo exhiberi potest: 
g = -g-(—aci —(— 2 ab —(— b b —[— i) —(— 4 [g—(~ 1) —-^V") 
Quapropter quum g sit character numeri —1 — i pro modulo a-\-bi, hic cha 
racter fit = —aa-{-2ab-{-bb-\-l){mod. 4), quod est ipsum theorema supra 
(art. 64) per inductionem erutum, sponteque inde demanant theoremata circa cha 
racteres numerorum 1-j-i, 1—i, —1 -\-i. Quamobrem haec quatuor theoremata, 
pro casu eo, ubi a et & sunt positivi, iam rigorose sunt demonstrata. 
76. 
Si manente a positivo b est negativus, statuatur b = —b', ut fiat b' posi 
tivus. Quum iam evictum sit, ita pro modulo a -f- b'i characterem numeri —1 — i 
esse = -£•(—aa + 2a6'-f-i/fr'-|-l)(mod. 4), character numeri —1-Jpro modulo 
a— b'i per theorema in art. 62 prolatum erit = %{aa—2ab'—b'b'—1), i. e. cha 
racter numeri — l-J-í pro modulo a-\-bi fit = %{aa-{-2ab—bb — 1): hoc vero 
est ipsum theorema in art. 64 allatum, unde tria reliqua circa characteres nume 
rorum 1 —{— /, 1 — i,—1 — i sponte demanant. Quapropter ista theoremata etiam 
pro casu, ubi b negativus est, demonstrata sunt, scilicet pro omnibus casibus, 
ubi a est positivus. 
Denique si a est negativus, statuatur a — —a, b — —b'. Quum ita 
que per iam demonstrata character numeri 1-|-i respectu moduli d-\-b'i sit 
— -fr(—dd-^-ldH—3b'b'—\— 1) (mod. 4), nihilque intersit, utrum numerum d-\-b’i 
an oppositum — d— h'i moduli loco habeamus; manifesto character numeri 1 -f- i 
respectu moduli a-\-bi est = -§-(•—a a-{-lab— 3 & —j—1), et similia valent circa 
characteres numerorum 1 — i, — 1 —i, — 1 — i. 
Ex his itaque colligitur, demonstrationem theorematum circa characteres 
numerorum 1 — i, ——1 — i (artt. 63. 64) nulli amplius limitationi 
obnoxiam esse.