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hingegen in dem Falle, wo n von der Form 4m-}-3 ist, die Summe der ersten 
Reihe = 0 , und die der zweiten — -j-\Jn wird. Das der Wurzelgrösse vorzu- 
setzende Zeichen hängt von dem Werthe der Zahl k oder vielmehr von dessen Re 
lation zu n ab, und lässt sich leicht für alle Werthe von k bei einem gegebenen 
Werthe von n bestimmen, sobald es für einen bestimmt ist. Man kann nemlich 
zeigen, dass für alle Werthe von k, welche quadratische Reste von n sind, durch 
aus einerlei Zeichen gilt, und dann das entgegengesetzte für alle diejenigen, die 
quadratische Nichtreste von n sind. Da in dem angeführten Werke die Unter 
suchung so weit bereits geführt, und nur die Bestimmung des Zeichens für irgend 
einen Werth von k noch übrig war: so hätte man glauben sollen, dass nach Be 
seitigung der Flauptsache diese nähere Bestimmung sich leicht würde ergänzen 
lassen, um so mehr, da die Induction dafür sogleich ein äusserst einfaches Re 
sultat gibt; für k = 1, oder für alle Werthe, welche quadratische Reste von 
n sind, muss nemlich die Wurzelgrösse in obigen Formeln durchaus positiv ge 
nommen werden. Allein bei der Aufsuchung des Beweises dieser Bemerkung tref 
fen wir auf ganz unerwartete Schwierigkeiten, und dasjenige Verfahren, welches 
so genugthuend zu der Bestimmung des absoluten Werths jener Reihen führte, 
wird durchaus unzureichend befunden, wenn es die vollständige Bestimmung der 
Zeichen gilt. Den metaphysischen Grund dieses Phänomens (um den bei den Fran 
zösischen Geometern üblichen Ausdruck zu gebrauchen) hat man in dem Um 
stande zu suchen, dass die Analyse bei der Theilung des Kreises zwischen den 
Bögen w, 2o), 3co . . . (n — l) (o keinen Unterschied macht, sondern alle auf glei 
che Art umfasst; und da hiedurch die Untersuchung ein neues Interesse erhält: 
so fand Hr. Prof. G. hierin gleichsam eine Aufforderung, nichts unversucht zu 
lassen, um die Schwierigkeit zu beseitigen. Erst nach vielen und mannigfalti 
gen vergeblichen Versuchen ist ihm dieses auf einem auch an sich selbst merk 
würdigen Wege gelungen. Er geht nemlich von der Summation einiger Reihen 
aus, deren Glieder unter folgender Form begriffen sind: 
(i — a**) (i — x m ~ l )(1 — X m -q... (i — x m -e+') 
(l—x) (l — xx) (l — X 3 ) . . . . (l — x fl ) 
Bezeichnet man, der Kürze halber, eine solche Function durch m, ¡x), welche, 
wie in der Abhandlung gezeigt wird, immer eine ganze Function von oc ist: so 
brechen die Reihen