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THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS DEMM. ETC. 161 
nicht ein besonderer Umstand ihn dazu veranlasst hätte, der hier erwähnt wer 
den muss. Seit dem Jahre 1805 hatte er nemlich angefangen, sich mit den Theo 
rien der cubischen und biquadratischen Reste zu beschäftigen, welche noch weit 
reichhaltiger und interessanter sind, als die Theorie der quadratischen Reste. Es 
zeigten sich bei jenen Untersuchungen dieselben Erscheinungen wie bei der letz 
tem , nur gleichsam mit vergrössertem Massstabe. Durch Induction, sobald nur 
der rechte Weg dazu eingeschlagen war, fanden sich sogleich eine Anzahl höchst 
einfacher Theoreme, die jene Theorien ganz erschöpfen, mit den für die quadra 
tischen Reste geltenden Lehrsätzen eine überraschende Aehnlichkeit haben, und 
namentlich auch zu dem Fundamentaltheorem das Gegenstück darbieten. Allein 
die Schwierigkeiten, für jene Lehrsätze ganz befriedigende Beweise zu finden, 
zeigten sich hier noch viel grösser, und erst nach vielen, eine ziemliche Reihe 
von Jahren hindurch fortgesetzten Versuchen ist es dem Verfasser endlich gelun 
gen, sein Ziel zu erreichen. Die grosse Analogie der Lehrsätze selbst, bei den 
quadratischen und bei den hohem Resten, liess vermuthen, dass es auch analoge 
Beweise für jene und diese geben müsse ; allein die zuerst für die quadratischen 
Reste gefundenen Beweisarten vertrugen gar keine Anwendung auf die hohem 
Reste, und gerade dieserUmstand war der Bewegungsgrund, für jene immer noch 
andere neue Beweise aufzusuchen. Der Verf. wünscht daher, dass man die vor 
liegende Abhandlung, die für die Theorie der quadratischen Reste noch einige 
neue Hülfsquellen eröffnet, als Vorläuferin der Theorie der cubischen und biqua 
dratischen Reste betrachte, die er in Zukunft bekannt zu machen denkt, und die 
zu den schwierigsten Gegenständen der hohem Arithmetik gehören. 
Die gegenwärtige Abhandlung besteht aus dreien von einander unabhängi 
gen Theilen. Sie enthält nemlich den fünften und sechsten Beweis des Funda 
mental-Theorems und eine neue, mit dem dritten Beweise zusammenhängende 
Methode, zu entscheiden, ob eine vorgegebene ganze Zahl von einer gegebenen 
Primzahl quadratischer Rest oder Nichtrest sei. Unter den vier ersten Beweisen 
war der dritte unstreitig derjenige, der die grösste Einfachheit mit l nabhängig- 
keit von fremdartigen Untersuchungen vereinigte, daher ihn auch Legendre in die 
neue Ausgabe seines Essai d’une théorie des nombres aufgenommen hat. Der fünfte 
Beweis scheint dem dritten in beiden Hinsichten wenigstens gleich zu kommen. 
Beide Beweise haben insofern einige Verwandtschaft, dass sie von einem und dem 
selben Lehnsatze ausgehen, sind aber bei der weitern Ausführung völlig von ein- 
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