THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO SECUNDA. 
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es, auf diesem Wege ein allgemeines Gesetz für diese Formen aufzufinden, wenn 
auch manches Gemeinschaftliche bald in die Augen fällt, und noch viel schwerer 
ist es, für diese Lehrsätze die Beweise zu finden. Die für die Zahlen -f- 2 und 
— 2 in der ersten Abhandlung gebrauchten Methoden vertragen hier keine An 
wendung mehr, und wenn gleich andere Methoden ebenfalls das, was sich auf 
die erste und dritte Classe bezieht, zu erledigen dienen könnten, so zeigen sich 
doch solche zur Begründung von vollständigen Beweisen untauglich. 
Man erkennt demnach bald, dass man in dieses reiche Gebiet der hohem 
Arithmetik nur auf ganz neuen Wegen eindringen kann. Der Verf. hatte schon 
in der ersten Abhandlung eine Andeutung gegeben, dass dazu eine eigentüm 
liche Erweiterung des ganzen Feldes der hohem Arithmetik wesentlich erforder 
lich ist, ohne damals sich näher darüber zu erklären, worin dieselbe bestehe: die 
gegenwärtige Abhandlung ist dazu bestimmt, diesen Gegenstand ins Licht zu setzen. 
Es ist dieses nichts anders, als dass für die wahre Begründung der Theorie 
der biquadratischen Beste das Feld der hohem Arithmetik, welches man sonst 
nur auf die reellen ganzen Zahlen ausdehnte, auch über die imaginären erstreckt 
werden, und diesen das völlig gleiche Bürgerrecht mit jenen eingeräumt werden 
muss. Sobald man diess einmal eingesehen hat, erscheint jene Theorie in einem 
ganz neuen Lichte, und ihre Besultate gewinnen eine höchst überraschende Ein 
fachheit. 
Ehe jedoch in diesem erweiterten Zahlengebiet die Theorie der biquadrati 
schen Reste selbst entwickelt werden kann, müssen in jenem die dieser Theorie 
vorangehenden Lehren der hohem Arithmetik, die bisher nur in Beziehung auf 
reelle Zahlen bearbeitet sind, an dieser Erweiterung Theil nehmen. Von diesen 
vorgängigen Untersuchungen können wir hier nur Einiges anführen. Der Verf, 
nennt jede Grösse a-\-hi, wo a und h reelle Grössen bedeuten, und i der 
Kürze wegen anstatt \j—1 geschrieben ist, eine complexe ganze Zahl, wenn 
zugleich a und h ganze Zahlen sind. Die complexen Grössen stehen also nicht 
den reellen entgegen, sondern enthalten diese als einen speciellen Fall, wo b — 0, 
unter sich. Zur bequemen Handhabung war es erforderlich, mehrere auf die 
complexen Grössen sich beziehende Begriffsbildungen mit besondern Benennun 
gen zu helegen, welche wir aber in dieser Anzeige zu umgehen suchen werden. 
So wie in der Arithmetik der reellen Zahlen nur von zwei Einheiten, der 
positiven und negativen, die Rede ist, so haben wir in der Arithmetik der com- 
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