SEEBER. UNTERSUCHUNGEN ETC. 
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meticae unvollendet gelassen war, zur Vollständigkeit gebracht. Für diejenigen, 
welche aus der höheren Arithmetik ein tieferes Studium gemacht haben, würden 
wir dasjenige, was in dem vorliegenden Werke Neues geleistet ist, mit wenigen 
Worten bezeichnen können; allein, um auch andern verständlich zu sein, müs 
sen wir uns etwas mehr Ausführlichkeit verstatten, und wir thun dies um so lie 
ber , da diese Untersuchungen auch ausserhalb des Gebietes der höheren Arith 
metik ein eigenthümliches Interesse haben. 
Die Eigenschaften einer binären Form axx~\- 2bxy -j- cyy hängen vor 
nehmlich von der Zahl bb— ac ab, welche daher der Determinant jener Form 
heisst. Zwei äquivalente Formen haben allemal gleiche Determinanten. Allein 
nicht alle Formen, die einen gegebenen Determinanten haben, sind darum schon 
äquivalent, vielmehr zerfallen solche Formen in eine kleinere oder grössere, aber 
stets endliche Anzahl von Klassen, so dass die zu einerlei Klasse gehörigen unter 
sich äquivalent, die zu verschiedenen Klassen gehörenden hingegen nicht äqui 
valent sind. Durch Formen, deren Determinant positiv ist, lassen sich ohne Un 
terschied positive und negative Zahlen darstellen; hingegen durch Formen mit 
negativem Determinanten sind nur solche Zahlen darstellbar, welche mit a und 
c einerlei Zeichen haben, daher hier positive und negative Formen unterschieden 
werden. Die einfachsten Formen in jeder Klasse haben bestimmte Kriterien, 
heissen reducirte Formen, und können als Repräsentanten der ganzen Klasse be 
trachtet werden. 
Aehnliche Verhältnisse in Beziehung auf die ternären Formen sind in den 
Disquisitiones Arithmeticae nachgewiesen. Determinant der ternären Form 
axx-\-byy -^-czz-^-lciyz-^^b'xz-^- lexy 
heisst die Zahl 
a cía!-j- b b'b'-\- c cc — abc — 2 ab'c 
Auch hier ist zur Aequivalenz zweier Formen die Gleichheit der Determinanten er 
forderlich, aber nicht zureichend, sondern sämmtliche Formen mit einem bestimm 
ten Determinanten zerfallen in eine endliche Anzahl von Klassen, in deren jeder 
die einfachsten Formen reducirte heissen können und alle übrigen gleichsam re- 
präsentiren. Mit dem Unterschiede zwischen positiven und negativen f ormen ver 
hält es sich aber hier anders, als bei den binären Formen. Für jeden gegebenen 
Determinanten, er sei positiv oder negativ, gibt es theils Formen, durch welche