. ifiSiEC 
-JÉW 
12 
SUMMATIO QUARUMDAM 
Hl! 
II. pro valore ipsius w, qui est formae 4m-j-3, 
2 cos a k co 
2 cos b kto 
2 sina&w 
2 sin 6 X: to 
2 siiiß&a) — 2 sin bku> 
±f s/n 
Hae summationes 1. c. omni rigore demonstratae sunt, neque alia difficultas 
hic remanet nisi in determinatione signi quantitati radicali praefigendi. Nullo 
quidem negotio ostendi potest, hoc signum eatenus a numero k pendere, quod 
semper pro cunctis valoribus ipsius k, qui sint residua quadratica ipsius n, sig 
num idem valere debeat, et contra signum huic oppositum pro omnibus valoribus 
ipsius k, qui sint non-residua quadratica ipsius n. Hinc totum negotium in va- 
lore k = 1 versabitur, patetque, quam primum signum pro hoc valore valens in 
notuerit, pro omnibus quoque reliquis valoribus ipsius k signa statim in promtu 
fore. Verum enim vero in hac ipsa quaestione, quae primo aspectu inter facilio 
res referenda videtur, in difficultates improvisas incidimus, methodusque, qua 
ducente sine impedimentis hucusque progressi eramus, auxilium ulterius prorsus 
denegat. 
Haud abs re erit, antequam ulterius progrediamur, quaedam exempla sum- 
mationis nostrae per calculum numericum evolvisse: huic vero quasdam observa 
tiones generales praemittere conveniet. 
I. 8i in casu eo, ubi n est numerus primus formae 4m-f- 1, omnia resi 
dua quadratica ipsius n inter 1 et -\[n—1) incl. iacentia indefinite per d ex 
hibentur, omniaque non-residua inter eosdem limites per h', constat, omnes n—d 
inter ipsos a, omnesque n — b' inter h comprehensos fore: quamobrem quum 
omnes d, b\ n — d, n — h' manifesto totum complexum numerorum 1, 2, 3 . ... 
n — 1 expleant, omnes d cum omnibus n — d iuncti omnes a complectentur, 
et perinde omnes h' cum omnibus n — h' iuncti omnes b comprehendent. Hinc 
erit 
lam quum 
sin [n — d) ka 
Summatio cc 
unde fieri de 
II. 
dui a ad n 
circa omnes 
Hinc colligiti 
quare quum 
adeoque fiat 
-f- cos [n — 
sponte sunt