SERIERUM SINGULARIUM. 
13 
; sunt, neque alia difficultas 
radicali praefigendi. Nullo 
a numero k pendere, quod 
ia quadratica ipsius n, sig- 
'tum pro omnibus valoribus 
ine totum negotium in va- 
m pro hoc valore valens in- 
; k signa statim in promtu 
primo aspectu inter facilio- 
iimus , methodusque , qua 
auxilium ulterius prorsus 
ir, quaedam exempla sum- 
uic vero quasdam observa- 
mae 4 m 4- 1, omnia resi- 
;entia indefinite per a ex- 
r b', constat, omnes n—a 
i fore: quamobrem quum 
n numerorum 1,2, 3 . ... 
i omnes a complectentur, 
b comprehendent. Hinc 
N cos a k to — 2 cos dk to -f- 2 cos [n — d)k to 
2 cos b k to = 2 cos h'k co —{— 2 cos [n — b') k to 
2 sin ak co = 2 sin dk 10 -j- 2 sin (n — d]ku> 
2 sin b k to = 2 sin b'k 10 -J- 2 sin {n — b') k 10 
lam quum habeatur cos [n — d)kw = cosa&co, cos [n — b')kto — cos b'km. 
sin (n — d) A’cd = — sin dk w, sin [n — b') k w = — sin b'k to, patet sponte fieri 
2 sin a k io == 2 sin dk u> — 2 sin dk to = 0 
2 sin bkw — 2 sin b'ku>—2 sin b'ku> = 0 
Summatio cosinuum vero hanc formam assumit 
2 cos a k to = 2 2 cos dk to 
2 cos h k to = 2 2 cos b’k to 
unde fieri debebit 
1 —{— 4 2 cos dk to — -j- \jn 
1 -j- 4 2 cos b' k to = Ip n 
2 2 cos dk 10 — 2 2 cos b'k to == + \jn 
II. In casu eo, ubi n est formae 4?w-(-3, complementum cuiusvis resi 
dui a ad n erit non-residuum, complementumque cuiusvis h erit residuum; quo 
circa omnes n — a convenient cum omnibus h, omnesque n — h cum omnibus a. 
Hinc colligitur 
2cosaA’to = 2cos [n — h)k 10 = 2cosftA to 
I 
quare quum omnes a et b iuncti omnes numeros 1, 2, 3 . . . . n—1 expleant, 
adeoque fiat 2 cosa^to 2 cosbkio = cos k 10 -f- cos 2k 10 -)- cos 3 A’to -j- etc. 
-f- cos [n — 1) k to= — 1, summationes 
2 cos a k to = — \ 
2cos^A’to = —|- 
sponte sunt obviae. Perinde erit 
2 sin akio = 2*sin [n — b) k to = — 2 sin h k to