IG
SUMMATIO QUARUMDAM
4.
In omnibus hisce exemplis quantitas radicatis signum positivum obtinet,
idemque facile pro valoribus maioribus n = 23, n = 29 etc. confirmatur, unde
fortis iam probabilitas oritur, hoc generaliter perinde se habere. Sed demonstra
tio huius phaenomeni e principiis 1. c. expositis peti nequit, plenissimoque iure
altioris indaginis aestimanda est. Propositum itaque huius commentationis eo
tendit, ut demonstrationem rigorosam huius elegantissimi theorematis, per plures
annos olim variis modis incassum tentatam, tandemque per considerationes sin
gulares satisque subtiles feliciter perfectam in medium proferamus, simulque theo
rema ipsum salva seu potius aucta elegantia sua ad longe maiorem generalitatem
evehamus. Coronidis denique loco nexum mirabilem arctissimum inter hanc sum-
mationem aliudque theorema arithmeticum gravissimum docebimus. Speramus,
hasce disquisitiones non modo per se geometris gratas fore, sed methodos quoque,
per quas haec omnia efficere licuit, quaeque in aliis quoque occasionibus utiles
esse poterunt, ipsorum attentione dignas visum iri.
5.
Petita est demonstratio nostra e consideratione generis singularis progres
sionum , quarum termini pendent ab expressionibus talibus
(1 — x m ) (l - x m ~ l ) (l — x m ~ z )(l
(l—x) (l—xx) (l —X 3 ) (l XP)
Brevitatis caussa talem fractionem per (m, p) denotabimus, et primo quasdam ob
servationes generales circa huiusmodi functiones praemittemus.
1. Quoties m est integer positivus minor quam p, functio [m, p) mani
festo evanescit, numeratore factorem 1—aP implicante. Pro m — p, factores
in numeratore identici erunt ordine inverso cum factoribus in denominatore, unde
erit (p, p) = 1 ; denique pro casu eo, ubi m est integer positivus maior quam
p, habentur formulae
A
(H-1. i)
_ (l— x' l+2 ) (1— xt l+l )
/ i . \ 1—x
(P+ 2 ’ I a ) — (Y
(p-f-3, p)
(i
-x) (\-xx) (t*-+ 2 > 2 )
^ 3)(1 _^ )(1 _^ ) = ^ +3j 3) etc<
(l — x) (l—xx) (l — X 3 )
sive generali!
II. P(
quamobrem,
quae series c<
siquidem m
(m, p-(-
Hinc p
integra sit, e
integram evac
eadem etiam
liter pro valoi
sive productu
divisibile per
Duas ii
ducere possui
