BEMERKUNGEN ZUR ANALYSIS RESIDUORUM. 
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ginnt mit Art. 367 und sollte also die Fortsetzung der Disqq. Arithm. bilden; die wenigen noch vorhande 
nen Artikel sind aber später ihrem Inhalte nach in die Abhandlung Summatio quarumdam serierum singu 
larium übergegangen, und deshalb wird dieses Fragment von der gegenwärtigen Ausgabe ausgeschlossen. 
In dem vorstehenden Abdruck der beiden Theile der Analysis Residuorum ist der Text des Origi 
nals im Wesentlichen treu beibehalten, obgleich dasselbe in formeller Beziehung nicht druckfertig zu nen 
nen ist; in den folgenden Bemerkungen sind die wichtigsten Abänderungen bezeichnet, und zugleich einige 
Erläuterungen hinzugefügt. 
§. 237. Yergl. Disqq. Arithm. artt. 61, 62. 
§. 239. Vergl. Disqq. Arithm. artt. 53, 54, 65. 
§. 241. Wenn n — 2 V und vr^3 ist, so existirt zwar keine Zahl p von der angegebenen Art, 
aber die ganze Untersuchung wird hierdurch nicht wesentlich geändert. 
§. 261. Yermuthlich sollte die hier bemerkte Schwierigkeit durch die Einführung höherer Potenzen 
von p als Moduln beseitigt iverden. Yergl. §§. 363, 372, 373. 
§. 332. Die Voraussetzung, dass der Modulus eine Primzahl ist, wird bis §. 372 incl. beibehalten. 
§. 3 38. Das unvollständige Citat kann auf Disqq. Arithm. art. 44 bezogen werden. 
§§. 344—346. Von den beiden im Manuscript vorhandenen Beweisen ist hier der erste, welcher mit 
den Worten iam demonstrare accingimur eingeleitet wird und sich auf eine nähere Untersuchung der Aus 
drücke (i a 2^ 3 y . . .) gründet, nach der eigenen Vorschrift des Verfassers ganz unterdrückt (‘ Tota prae 
cedens demonstratio una cum altera theorematis praec., quam adiicere mens erat, supprimenda erit, quoniam 
aliam infinities simpliciorem deteximus. Nititur ea huic fundamento’.); in dem obigen Abdruck ist ferner 
der zweite Beweis dadurch abgekürzt, dass die Entwicklung von statt derjenigen von - betrach 
tet wird, wodurch zugleich eine im Original enthaltene Beziehung auf den unterdrückten ersten Beweis um 
gangen wird. 
§. 349. Der Ausdruck radix prima ist hier in derselben Bedeutung zu nehmen, wie der Ausdruck 
radix propria in der Abhandlung Summatio quarumdam serierum singularium art. 11. — Bei der Behaup 
tung, dass die Coefficienten A', B' . . . des entwickelten Productes ganze rationale Zahlen sind, wird auf 
das sechste Capitel verwiesen, in welchem aber die Theorie der Gleichung x T — 1 = o nur für den Fall be 
handelt wird, dass t eine Primzahl ist; die Form des Beweises in §. 349 führt zunächst auf folgende Er 
gänzung. Wird das entwickelte Product in die (für alle Wurzeln der Gleichung 9 T = l geltende) Form 
S = E + F 0+ . . . + Ar* 
gebracht, so sind die Coefficienten E, F . . . N ganze rationale Functionen von x mit ganzen rationalen 
Coefficienten; da ferner das Product ungeändert bleibt, wenn 0 durch ersetzt wird, wo k irgend eine 
relative Primzahl zu t bedeutet, so gilt dasselbe von dem Ausdruck S, und hieraus ergibt sich ohne 
Schwierigkeit, dass alle diejenigen in S enthaltenen Potenzen von 9, deren Exponenten s einen und den 
selben grössten gemeinschaftlichen Divisor mit t haben, auch identische Coefficienten haben müssen; da 
endlich eine jede Summe solcher Potenzen 0* immer eine ganze Zahl ist, so leuchtet ein, dass der Aus 
druck S, und folglich auch das in Rede stehende Product eine ganze Function von x mit ganzen Coeffi 
cienten ist, was zu zeigen war. Ebenso geht aus dieser Betrachtung zugleich die Richtigkeit der Bemer 
kung am Schlüsse des Paragraphen hervor. Andere Gründe lassen indessen vermuthen, dass dem Verfas 
ser schon damals das allgemeine Theorem über die Transformation der symmetrischen Functionen (Demon 
stratio nova altera theorematis omnem functionem etc. art. 4) bekannt war, aus welchem sich die obigen 
Sätze als unmittelbare Folgerungen ergeben. 
§. 352. Das Zeichen R = S(mod. P) oder auch R = S (mod. P,p) bedeutet hierund im Folgen- 
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