SERIERUM SINGULARIUM.
17
3
sive generaliter
(m, p,) = [m, m — {x)
II. Porro facile confirmatur, haberi generaliter
[m, ¡x —1— 1) = [m — ], jx —|— 1) —J— x rn ' J ' 1 (im — J, jx)
qnamobrem, quum perinde sit
[m — 1, (x + 1) = [m — 2, jx —{— 1) -(- x m ~ {fA ~ 2 (m—2,jx)
(;m — 2, ¡x-f-1) = (m— 3, jx—J—1) -f- x m ~^~ 3 {m — 3, jx)
(:m—3, jx —(— 1) = (m — 4, jx —1— 4,jx) etc.,
quae series continuari poterit usque ad
! a 4 _1 ) — ({^ + 1. H- + 1) +^([ A +bl x )
= (mx)4-®(k-+ 1 , [x)
siquidem m est integer positivus maior quam jx-j-1, erit
[m, fx —|— 1) = ([x, [x) —(— x (¡x —j— 1, jx) —(— xx[\l-\- 2, jx) -f- x 3 ([x-f- 3, jx) -j- etc.
_)_ x m—(x—1 — 1, p,)
Hinc patet, si pro aliquo valore determinato ipsius [x quaevis functio (m, ¡x)
integra sit, existente m integro positivo, etiam quamvis functionem (m,jx —j— 1)
integram evadere debere. Quare quum suppositio illa pro ¡x = 1 locum habeat,
eadem etiam pro ¡x = 2 valebit, atque hinc etiam pro jx = 3 etc., i. e. genera
liter pro valore quocunque integro positivo ipsius m erit [m, [x) functio integra,
sive productum
(1 — x m ){i — — x m ~ 2 ) .... (1 — aT-^) '
divisibile per
(1 — o?)(1 — a? 2 )(l— x 3 ) .... (1 — <#)
6.
Duas iam progressiones considerabimus, quae ambae ad scopum nostrum
ducere possunt. Progressio prima haec est