20
SUMMATIO QUARUMDAM
1 -\ 1 —i—~ i 1 L_ . —1— . î i_ e ^ c
X 1 1 X—1 XX — 1 1 X — 1 XX — 1 X a 1 1
Haec itaque series aequalis est producto infinito
iiii
iiii
i i— i—_ i—-
X X a X s X
etc. in infin.
Porro quum generaliter sit
fix, m) = fix, m — 2 X). ( 1 — x m ~ x ) ( \ — x m ~ 3 ) ( ;l —x m ~~ ö ).. ( 1 — x m ~ ik+1 )
erit
f[x, m) — f[x, — oo). (1 — x m *) (1 — x m 3 ) (1 — x m 5 ) etc. in infin.
1 x m ~ l 1 x m ~ a 1 X m ~ s 1 — x m ~ 7
1 X 1 1—x~ a 1 X~ h 1 X■
etc. in infin.
quos factores tandem continuo magis ad unitatem convergere palam est.
Attentionem peculiarem meretur casus m = — 1 , ubi fit
f[x, —1) = 1 —o? 1 —1— «2? 3 —}— <a? G —(— 1<> —{— etc.
Haec itaque series aequatur producto infinito
1—x~ z 1—x~ 4 1—-X
etc.
1 X 1 X 1 X'
sive scribendo x pro x~ l , erit
. i i 3 i fi 1 i. 1 — xx 1—x 1 l — X G 1 X 8 ,
1 x x x —j— etc —. 3 • g • j etc.
Haec aequalitas inter duas expressiones abstrusiores, ad quas alia occasione reve
niemus , valde sane est memorabilis.
9.
Secundo loco considerabimus progressionem hancce
1 -j- x%
1 — x m . {i — x m ){l-x m ~ i )
\—x ~* ^ (l—x) (l—xx)
+ 3
X*
(1 ■— x m ) (1 ■— x m ~ l ) ( 1 — x m -*)
(l—x) (i — xx) (i — X 3 )
-J- etc.
sive
1 + x* [m, l)-f-x[m, 2) —(— «2?* [m, 3) + xxiyn, 4) -J- etc.
quam per F(x, m) denotabimus, llestringeraus hanc disquisitionem ad casum
eum, ubi m est integer positivus, ita ut haec quoque series semper abrumpatur