36
SUMMATIO QUARUMDAM
II. in casu eo, ubi n — 8, vel altior potestas binarii cum exponente im
pari, fieri
l = 1, si fuerit h formae Sji-f-l,
l — —1, si fuerit h formae 8 pt —5 ,
* = +•’. si fuerit vel h formae 8 jjl —}— 3 , atque k formae 4 pt —)— 1,
vel h formae 8pt —{— 7, atque k formae 4jx—[— 3 ,
1 = —i, si fuerit vel h formae 8 pt —{— 3 , atque k formae 4 jjl —3,
vel h formae 8jjl —f— 7, atque k formae 4jjl—{— 1.
) 1 . . •
Per praecc. determinatio summae W pro iis casibus, ubi n est numerus
primus vel numeri primi potestas, complete perfecta est: superest itaque, ut eos
quoque casus absolvamus, ubi n e pluribus numeris primis compositus est, huc
viam nobis sternet theorema sequens.
25.
Theorema. Sit n productum e duobus integris positivis inter se primis a, b,
statuatur que
P = l_|_ r ««_|_ r 4aa_j_ r 9aa_^_ etc
Q = 1 + etc _^ r {a-l)*bb
Tum dico fore W —. PQ.
Demonstr. Designet a indefinite numeros 0, 1, 2, 3 .... a — 1, 6 indefinite
numeros 0, 1, 2, 3 .... b — 1, v indefinite numeros 0, 1, 2, 3 ... . n — 1. Tunc
patet esse
P = 2 r M , Q = 1 r bbaa , W = 2 P v
Hinc erit P Q = 2 r aafjrj +^ rm } substituendo pro a et fi omnes valores, omnibus mo
dis inter se combinatos; hinc porro propter 2abafi = 2afin, erit P Q =
Sed nullo negotio perspicitur, singulos valores ipsius afi-fba inter se diversos
esse, atque alicui valori ipsius v aequales. Hinc erit PQ = = W.
Ceterum notandum est, r aa esse radicem propriam aequationis oc b —1 = 0,
atque r bb radicem propriam aequationis x a —1 — 0.