SERIERUM SINGULARIUM. 
43 
it numeri P, P', P" etc., 
n n n , J 
., —, —i, ~r, etc. ad mi- 
' q q q 
ipsius p 
mm ipsius p 
is Psjp, P'sjp, P'sjp'etc., 
ta art. 1 9 , erit 
lem redit, si m est par 
st impar 
lentem : 
-1, atque — — 1, quo- 
sequens elegautissimum 
os impares positivos inae- 
sint formae 4p-)-3, re . 
c etc., quorum non-resi- 
xe 4 p vel 4 jjl—{— 1, impar 
, habemus tres numeros 
3-7.1 1 jR5; 3.5.11127; 
quadratica nihil aliud est, 
lo scilicet multitudinem 
numerorum a, h, c etc. ad duos, patet, si unus tantum ex ipsis, vel neuter, sit 
formae 4jx—(— 3, fieri debere vel simul aRb, hRa, vel simul aNb, hNa\ con 
tra si uterque est formae 4 jx —f- 3 , unus ex ipsis alterius non-residuum esse 
debebit, atque hic illius residuum. En itaque demonstrationem quartam huius 
gravissimi theorematis , cuius demonstrationem primam et secundam in Disqui 
sitionibus Arithmeticis, tertiam nuper in commentatione peculiari tradidimus 
[Commenti. T. XVI): duas alias principiis rursus omnino diversis innitentes in 
posterum exponemus. Summopere sane est mirandum, quod hocce venustissimum 
theorema, quod primo omnes conatus tam pertinaciter eluserat, tot postea viis 
toto coelo inter se distantibus adiri potuerit. 
34. 
Etiam theoremata reliqua, quae quasi supplementum ad theorema funda 
mentale efficiunt, scilicet per quae dignoscuntur numeri primi, quorum residua 
vel non-residua sunt —• l, —J— 2 et — 2, ex iisdem principiis derivari possunt. 
Incipiemus a residuo -f-2. 
Statuendo n — 8a, ita ut a sit numerus primus, atque k = 1, per me 
thodum art. 28. W erit productum e duobus factoribus, quorum alter erit -\-\Ja, 
vel -\-i\Ja, si 8, vel quod idem est 2, est residuum quadraticum ipsius a; con 
tra — \ja vel •—i\J a, si 2 est non-residuum ipsius a. Factor secundus autem est 
(1 —*) y/ 8, si a est formae 8p-j- 1 
(—l-H)v/8, si a est formae 8jx —)— 3 
(—1 — i)\J 8, si a est formae 8pi—|— 5 
(1 — i)\J 8, si a est formae 8pt —f- 7 
Sed per art. 18 semper erit W = (1 -\-i)^n; dividendo hunc valorem per qua- 
tuor valores factoris secundi, patet, factorem primum fieri debere 
-j-\ja, si a est formae S pt —)— 1 
— isj a, si a est formae 8p-f-3 
— \Ja, si a est formae 8(x-f-5 
-Visja, si a est formae 8 pt —|— 7 
Hinc sponte sequitur, in casu primo et quarto 2 esse debere residuum ipsius a, 
in casu secundo et tertio autem non-residuum. 
6*