IIS QUADRATICIS 
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE. 51 
ntnm revertor, duasque 
mic rei affundent. Prior 
n lemmate proficiscitur; 
lemonstratione nova ha- 
rior saltem haud inferior 
diverso subtiliori innixa 
bates arithmeticas primo 
emonstrationibus adiun- 
um numerus integer da- 
esiduum. 
THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN THEORIA RESIDUORUM QUADRATIC ORUM 
DEMONSTRATIO QUINTA. 
1. 
In introductione iam declaravimus, demonstrationem quintam et tertiam ab 
eodem lemmate proficisci, quod commoditatis caussa, in signis disquisitioni prae 
senti adaptatis hoc loco repetere visum est. 
Lemma. Sit m numerus primus [positivus impar), M integer per m non divi 
sibilis ; capiantur residua minima positiva numerorum 
mes, novem iam abhinc 
. Scilicet quum inde ab 
raticorum, argumentum 
nam, ac olim in theoria 
em theoremata ea, quae 
logia cum theorematibus 
m detecta fuerunt, quam 
sorum demonstrationibus 
[ manserunt. PIoc ipsum 
circa residua quadratica 
ex multis methodis di- 
i aliquid conferre posset. 
l tandem successus pro- 
lucem edere licebit: sed 
teoriam residuorum qua- 
nt agenda absolvere, at- 
re constitui. 
M, 2M, 3 7kf, AM J-[m — 1)M 
secundum modulum m, quae partim erunt minora quam \m. partim maiora: poste 
riorum multitudo sit = n. Tunc erit M residuum quadraticum ipsius m, vel non- 
residuum, prout n par est, vel impar. 
Demonste. Sint e residuis illis ea, quae minora sunt quam \m, haec a, h, c, d 
etc., reliqua vero, maiora quam \m, haec d, b', c', d' etc. Posteriorum comple 
menta ad ni, puta m — d, m — b', m — c, m — d'etc. manifesto cuncta minora 
erunt quam \m, atque tum inter se tum a residuis a, b, c, d etc. diversa, quam- 
ohrem cum his simul sumta, ordine quidem mutato, identica erunt cum omnibus 
numeris 1, 2, 3, 4 ... . \[m — 1). Statuendo itaque productum 
1.2.3.4 ±[m—\) = P 
erit 
P = abcd . . . . X [m — d) [m — b') [m — c)[m — d') . . . . 
adeoque 
— 1 ) n P — abcd X [d— m) ib'— m)[c — m) [d'— m) 
Porro fit, secundum modulum m , 
') == abcd. .x db' c' d'.. = abcd .. x[d—m)[b' - m)[c — m)[d'—m].. 
adeoque 
PM^ m - y) = P[— l) n 
Hinc = -f- L, accepto signo superiori vel inferiori, prout n par est vel 
impar, unde adiumento theorematis in Disquisitionibus Arithmeticis art. 106 de 
monstrati lemmatis veritas sponte demanat. 
y #