68 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
tatione disquisitiones eas explicabimus, quas iam cis campum Arithmeticae am 
pliatum absolvere licuit, quae illuc viam quasi sternunt, simulque theoriae divi 
sionis circuli quaedam nova incrementa adiungunt. 
2. 
Notionem residui biquadratici in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115 intro 
duximus : scilicet numerus integer «, positivus seu negativus, integri p residuum 
biquadraticum vocatur, si a secundum modulum p biquadrato congruus fieri pot 
est , et perinde non-residuum biquadraticum, si talis congruentia non exstat. In 
omnibus disquisitionibus sequentibus, ubi contrarium expressis verbis non mone 
tur, modulum p esse numerum primum (imparem positivum) supponemus, atque a 
per p non divisibilem, quum omnes casus reliqui ad hunc facillime reduci possint. 
3. 
Manifestum est, omne residuum biquadraticum numeri p eiusdem quoque 
residuum quadraticum esse, et proin omne non-residuum quadraticum etiam non- 
residuum biquadraticum. Hanc propositionem etiam convertere licet, quoties p 
est numerus primus formae 4w-f-3. Nam si in hoc casu a est residuum quadra 
ticum ipsius p, statuamus a = bb (mod. p), ubi b vel residuum quadraticum 
ipsius p erit vel non-residuum: in casu priori statuemus b = cc, unde a = c 4 , 
i. e. a erit residuum biquadraticum ipsius p; in casu posteriori — b fiet residuum 
quadraticum ipsius p (quoniam —1 est non-residuum cuiusvis numeri primi for 
mae 4 —f- 3), faciendoque —b^cc, erit ut antea a=c\ atque a residuum 
biquadraticum ipsius p. Simul facile perspicietur, alias solutiones congruentiae 
<2? 4 = a (mod. p), praeter has duas x = c et x = — c in hoc casu non dari. 
Quum hae propositiones obviae integram residuorum biquadraticorum theoriam 
pro modulis primis formae 4 ^ 3 exhauriant, tales modulos a disquisitione no 
stra omnino excludemus, sive hanc ad modulos primos formae 4/z —|—1 limitabimus. 
4. 
Existente itaque p numero primo formae 4 (—1, propositionem art. praec. 
convertere non licet: nempe exstare possunt residua quadratica, quae non sunt 
simul residua biquadratica, quod evenit, quoties residuum quadraticum congruum 
est quadrato non-residui quadratici. Statuendo enim a = bb, existente 6 non-