COMMENTATIO PRIMA.
71
a est residuum biquadraticum ipsius p, puta = oc 4 , quatuor radices congruentiae
x í =. a erunt a, fa, —oc, —fa, quas inter se incongruas esse facile perspici
tur. Hinc patet, si colligantur residua minima positiva biquadratorum 1, 16,
81, 256 .... [p— l) 4 , quaterna semper aequalia fore, ita ut \[p-—1) residua bi
quadratica diversa habeantur complexum A formantia. Si residua minima biqua
dratorum usque ad [^p — tantum colliguntur, singula bis aderunt.
7.
Productum duorum residuorum biquadraticorum manifesto est residuum bi
quadraticum , sive e multiplicatione duorum numerorum classis A semper prodit
productum, cuius residuum minimum positivum ad eandem classem pertinet. Per
inde producta numeri ex B in numerum ex D, vel numeri ex C in numerum
ex C, habebunt residua sua minima in A.
In B autem cadent residua productorum A.B et C.D; in C residua pro
ductorum A. C, B .B et D .D; denique in D residua productorum A. D et B. C.
Demonstrationes tam obviae sunt, ut sufficiat, unam indicavisse. Sint e. g.
c et d numeri ex C et D, atque c = e ea, d — e s d, denotantibus a, d nu
meros ex A. Tunc e 1 a d erit residuum biquadraticum. i. e. ipsius residuum mi
nimum ad A referetur : quare quum productum c d fiat = e. e 1 a d, illius resi
duum minimum in B contentum erit.
Simul facile iam diiudicari potest, ad quamnam classem referendum sit pro
ductum e pluribus factoribus. Scilicet tribuendo classi A, B, C, D resp. cha
racterem 0, 1, 2, 3, character producti vel aggregato characterum singulorum
factorum aequalis erit, vel eius residuo minimo secundum modulum 4.
Operae pretium visum est, hasce propositiones elementares absque admini
culo theoriae residuorum potestatum evolvere, qua in auxilium vocata omnia ad
huc multo facilius demonstrare licet.
Sit g radix primitiva pro modulo p, i. e. numerus talis, ut in serie potesta
tum g, gg, g ' ¿ ... . nulla ante hanc g p ~ 1 unitati secundum modulum p congrua
evadat. Tunc residua minima positiva numerorum 1, g, gg, g s ... . g 1} ~~~ praeter
ordinem cum his 1, 2, 3 p — l convenient, et in quatuor classes sequenti
modo distribuentur:
