72
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
ad
residua minima
numerorum
A
h / 3 -
B
9.
C
99> 9 6 . /°> 9 U •
D
/> 9 15 -
■ ■ ■ s*-*
Hinc omnes propositiones praecedentes sponte demanant.
Ceterum sicuti hic numeri 1, 2, 3 ... .p— 1 in quatuor classes distributi
sunt, quarum complexus per A, B, C, D designamus, ita quemvis integrum per
p non divisibilem, ad normam ipsius residui minimi secundum modulum p, ali
cui harum classium adnumerare licebit.
9.
Denotabimus per f residuum minimum potestatis secundum modu
lum p, unde quum fiat ff = g^ p ~^ = —i [Disquis. Arithm. art. 62), patet, cha
racterem f hic idem significare quod in art. 6. Potestas itaque, deno
tante X integrum positivum, congrua erit secundum modulum p numero l, f ’,
— 1, —/, prout X formae 4m, Am-\-\, 4m-j-2, 4m —J— 3 resp., sive prout resi
duum minimum ipsius g L in A, B, C, D resp. reperitur. Hinc nanciscimur cri-
terium persimplex ad diiudicandum, ad quam classem numerus datus h per p non
divisibilis referendus sit; pertinebit scilicet h ad A, B, C vel D, prout potestas
/¿40—0 secundum modulum p numero 1, f, —1 vel —f congrua evadit.
Tamquam corollarium hinc sequitur, —1 semper ad classem A referri, quo
ties p sit formae 8^-j-l, ad classem C vero, quoties p sit formae 8w-f-5. De
monstratio huius theorematis a theoria residuorum potestatum independens ex iis,
quae in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115, III docuimus, facile adornari potest.
10.
Quum omnes radices primitivae pro modulo p prodeant e residuis potesta
tum g 1 ', accipiendo pro X omnes numeros ad p — 1 primos, facile perspicitur, il
las inter complexus B et D aequaliter dispertitas fore, basi g semper in B con
tenta. Quodsi loco numeri g radix alia primitiva e complexu B pro basi accipi
tur, classificatio eadem manebit; si vero radix primitiva e complexu D tamquam
basis adoptatur, classes B et D inter se permutabuntur.