76 
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. 
1 3. 
Si exempla art. praec. inter se comparantur, primo saltem aspectu criterium 
nullum simplex se offerre videtur, per quod modulos priores a posterioribus digno 
scere liceret. Nihilominus duo huiusmodi criteria dantur, elegantia et simplici 
tate perinsignia, ad quorum alterum considerationes sequentes viam sternent. 
Modulus p, tamquam numerus primus formae 8/i —1, reduci poterit, et 
quidem unico tantummodo, sub formam a a-\-2bb [Disquiss. Arithm. art. 182,11); 
radices a, b positive accipi supponemus. Manifesto a impar erit, b vero par; 
statuemus autem b = 2 K c, ita ut c sit impar. lam observamus 
I. quum habeatur p = aa (mod. c) ipsum p esse residuum quadraticum 
ipsius c, et proin etiam singulorum factorum primorum, in quos c resolvitur: vi- 
cissim itaque, per theorema fundamentale, singuli hi factores primi erunt residua 
quadratica ipsius p, et proin etiam illorum productum c erit residuum quadrati 
cum ipsius p. Quod quum etiam de numero 2 valeat, patet, b esse residuum 
quadraticum ipsius p, et proin bb, nec non —bb, residuum biquadraticum. 
II. Hinc — 2bb ad eandem classem referri debet, in qua invenitur nume 
rus 2; quare quum a a = — 2 bb, manifestum est, 2 vel in classe A, vel in 
classe C inveniri, prout a sit vel residuum quadraticum ipsius p, vel non-resi- 
duum quadraticum. 
III. lam supponamus, a in factores suos primos resolutum esse, e quibus 
ii, qui sunt vel formae 8m-j-l vel 8m —J— 7, denotentur per a, a, a" etc., ii vero, 
qui sunt vel formae 8iw-f-3 vel 8m —f— 5 , per f), 6', S' etc.: posteriorum mul 
titudo sit = g. Quoniam p = 2bb (mod. a), erit p residuum quadraticum eo 
rum factorum primorum ipsius a, quorum residuum quadraticum est 2, i. e. fac 
torum a, a, a" etc.; non-residuum quadraticum vero factorum eorum, quorum 
non-residuum quadraticum est 2, i. e. factorum 6, 6', 6"etc. Quocirca, vice versa, 
per theorema fundamentale, singuli a, a, a etc. erunt residua quadratica ipsius 
p, singuli fi, tf', 6" etc. autem non-residua quadratica. Ex his itaque concludi 
tur, productum a fore residuum quadraticum ipsius p, vel non-residuum, prout 
p par sit vel impar. 
IV. Sed facile confirmatur, productum omnium a, a, a" etc. fieri formae 
8m-j- 1 vel Sm-\-7, idemque valere de producto omnium 6, 6', 6" etc., si ho 
rum multitudo fuerit par, ita ut in hoc casu etiam productum a necessario fieri 
debeat formae 8m-|-l vel 8 m —|— 7 ; contra productum omnium 6, 6', 6"etc., quo-