SECTIO OCTAVA. 
513 
372. 
Si n est numerus primus (impar), residua m consistent ex cifra, pro qua 
M = 1, et ex %(n — 1) aliis numeris, pro quibus M — 2. Designando haec re 
sidua (excluso residuo 0) indefinite per ¡x, erit progressio nostra = 1 —J— 2 2r*\ 
Porro si per v designantur indefinite omnes reliqui numeri infra n, quorum mul 
titudo quoque erit 4-{n — 1) et qui omnia non-residua quadratica ipsius n infra n 
complectentur, manifesto erit 
1-f- 2 r^-f-2 r* — 1 -j- r -\-r r -)- r 3 .... -J- r n ~ l — = 0 
Quare ponendo summam progressionis nostrae sive 1 -f- 2 2?^ = A, erit 
l-[-2 2r v — —A, nec non 2 r [J ‘ — 2r v = A. 
Per art. 3 56 fit itaque A = + ve ^ iV— n * P rou f w est =1 vel 
= 3 (mod. 4). Sed signum radicis hinc nondum determinatur. 
Si in progressione nostra, quam per 11 designabimus, pro r substituitur alia 
similis radix aequationis x n —1 == 0, puta r' = r x , supponamus inde prodire IT. 
373. 
Si n est quadratum altiorve potestas numeri primi, puta = p 71 , residua m 
quaedam consistent e numeris per p non divisibilibus, alia erunt divisibilia per 
pp neque per altiorem potestatem ipsius p, alia per p 4 neque vero per p 5 dividi 
poterunt et sic porro usque ad ea quae per p Tl ~ 2 neque vero per p 71-1 divisibilia 
sunt, sive per p"~ 1 neque vero per p Tl , prout tt par est sive impar; his denique 
accedit residuum 0, quod est unicum per p 71 divisibile (conf. art. 102). lam de 
signando per (x indefinite residua quadratica numeri p infra p cifra exclusa (quo 
rum multitudo = — l), illae diversae residuorum classes sequenti modo ex 
hibebuntur. Prima, quae per p non sunt divisibilia, repraesentantur per jx —J-kp, 
ubi pro k substituendi sunt omnes integri a 0 usque ad p~~ l —1, ita ut omnium 
residuorum in hac forma contentorum multitudo sit — %[p—1 )p !Z ~~ l \ pro his sin 
gulis fit M = 2. Summa autem omnium terminorum in II his residuis respon 
dentium erit 
= 2 2^+^ — 2 2r* A ,2r^ > — 22^.^—- = 0 
r p —i 
Secunda residuorum classis exhibebitur per \ipp-\-kp 5 ubi pro k substituendi 
sunt omnes integri a 0 usque ad p r ~^—1 ita ut omnium residuorum in hac 
II. 79