6 
DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS 
biles, in tali sensu acceptae, tamen sunt radices, et tum axioma illud nullo modo 
sine demonstratione admitti potest, neque inepte dubitares, annon aequationes 
exstare possint, quae ne impossibiles quidem radices habeant?*) 
4. 
Antequam aliorum geometrarum demonstrationes theorematis nostri recen 
seam , et quae in singulis reprehendenda mihi videantur, exponam; observo suf- 
ticere si tantummodo ostendatur, omni aequationi quantivis gradus 
x m -f A x m ~ l + B x m ~ % + etc. -\-M= 0 
sive X = 0 (ubi coefficientes A, B etc. reales esse supponuntur) ad minimum 
uno modo satisfieri posse per valorem ipsius x sub forma a-\~h\J—1 conten 
tum. Constat enim, X tunc divisibilem fore per factorem realem secundi gradus 
xx—2ax-\~^ci-\-bb, si h non fuerit — 0, et per factorem realem simplicem 
x — a, si 6 = 0, In utroque casu quotiens erit realis, et inferioris gradus quam 
X; et quum hic eadem ratione factorem realem primi secundive gradus habere de- 
*) Sub quantitate imaginaria hic semper intelligo quantitatem in forma a -f-b\/—i contentam, quam- 
diu b non est =0. In hoc sensu expressio illa semper ab omnibus geometris primae notae accepta est, ne 
que audiendos censeo , qui quantitatem a-\-b\J—l in eo solo casu imaginariam vocare voluerunt ubi a = o, 
impossibilem vero quando non sit a — o , quum haec distinctio neque necessaria sit neque ullius utilitatis. — 
Si quantitates imaginariae omnino in analysi retineri debent (quod pluribus rationibus consultius videtur, quam 
ipsas abolere, modo satis solide stabiliantur): necessario tamquam aeque possibiles ac reales spectandae sunt; 
quamobrem reales et imaginarias sub denominatione communi quantitatum possibilium complecti mallem: con 
tra, impossibilem dicerem quantitatem, quae conditionibus satisfacere debeat, quibus ne imaginariis quidem 
concessis satisfieri potest, attamen ita, ut phrasis haec idem significet ac si ditas, talem quantitatem in toto 
magnitudinum ambitu non dari. Hinc vero genus peculiare quantitatum formare, neutiquam concederem. 
Quodsi quis dicat, triangulum rectilineum aequilaterum rectangulum impossibile esse, nemo erit qui neget. 
At si tale triangulum impossibile tamquam novum triangulorum genus contemplari, aliasque triangulorum pro 
prietates ad illud applicare voluerit, ecquis risum teneat? Hoc esset verbis ludere seu potius abuti. — Quam 
vis vero etiam summi mathematici saepius veritates, quae quantitatum ad quas spectant possibilitatem mani 
festo supponunt, ad tales quoque applicaverint quarum possibilitas adhuc dubia erat; neque abnuerim, huius- 
modi licentias plerumque ad solam formam et quasi velamen ratiociniorum pertinere, quod veri geometrae 
acies mox penetrare possit: tamen consultius, scientiaeque, quae tamquam perfectissimum claritatis et certi 
tudinis exemplar merito celebratur, sublimitate magis dignum videtur, tales libertates aut omnino proscribere, 
aut saltem parcius neque alias ipsis uti, nisi ubi etiam minus exercitati perspicere valeant, rem etiam absque 
illarum subsidio etsi forsan minus breviter tamen aeque rigorose absolvi potuisse.— Ceterum haud negaverim, 
ea quae hic contra impossibilium abusum dixi, quodam respectu etiam contra imaginarias obiici posse : sed ha 
rum vindicationem nec non totius huius rei expositionem uberiorem ad aliam occasionem mihi reservo.