OMNEM FUNCTIONEM ALGEBRAICAM ETC. 
II 
inns semper diver- 
ivis quantitate data 
eriei progressionem 
strari debuisset, ta- 
posse. 
mfinitas confugisse, 
aequationum haud 
ie vero valorem U, 
quem X attingere 
fieri posset, ut in- 
cope velis possit X, 
ab ill. d’A. allatis 
adhuc quantitate 
ntitate aliqua finita 
me iterum augmen- 
nullum pro ultimo 
; quamvis multitudo 
tamen utique fieri 
lihilominus summa 
uotcunque termini 
esignat functionem 
oc fieri non posse, 
3ro X est functio 
cum habere potest, 
is ipsius x respon- 
xae primo aspectu maxime 
e poster. Inst. Cale. Diif. 
47 4 (reliquae enim series 
)bservatum est. Quocirca 
es, quae primo citissime, 
at, nihilominus summam 
e talis summa pro exacta 
det. Tum methodus D’ÂLEMBEETiana non sine multis ambagibus, et in quibusdam 
casibus nullo forsan modo, ad principia indubitata reduci posse videtur. 
Propter has rationes demonstrationem nXuEMBERTianam pro satisfaciente 
habere nequeo. Attamen hoc non obstante verus demonstrationis nervus probandi 
per omnes obiectiones neutiquam infringi mihi videtur, credoque eidem funda 
mento (quamvis longe diversa ratione, et saltem maiori circumspicientia) non so 
lum demonstrationem rigorosam theorematis nostri superstrui, sed ibinde omnia 
peti posse, quae circa aequationum transscendentium theoriam desiderari queant. 
De qua re gravissima alia occasione fusius agam; conf. intérim infra art. 24. 
7. 
Post d’Alembertum ili. Euler disquisitiones suas de eodem argumento pro 
mulgavit, Recherches sur les racines imaginaires des équations, Hist. de T Acad, 
de Berlin A. 1749, p. 223 sqq. Methodum duplicem hic tradidit : prioris summa 
continetur in sequentibus. 
Primo ili. E. suscipit demonstrare, si m denotet quamcunque dignitatem 
numeri 2, functionem x im BCx 2m ~ 3 -\- etc. -\-M= X (in qua coëffi- 
ciens termini secundi est = 0) semper in duos factores reales resolvi posse, in 
quibus x usque ad m dimensiones ascendat. Ad hunc finem duos factores assumit, 
x m — ux m ~ 1 —J— oc<a? m :Zj [-fix m ~ ij \- etc., et x m -\-ux mr ~‘ x -\-\x m ~~' z -\-[ix m ~' 5 etc. 
ubi coëfîicientes u, a, fi etc. X, p etc. adhuc incogniti sunt, horumque productum 
aequale ponit functioni X. Tum coëiRcientium comparatio suppeditat 2 m — 1 
aequationes, manifestoque demonstrari tantummodo debet, incognitis u, a, fi etc, 
X, p etc. (quarum multitudo etiam est 2 m — 1 ) tales valores reales tribui posse, qui 
aequationibus illis satisfaciant. lam E. affirmat, si primo u tamquam cognita 
consideretur, ita ut multitudo incognitarum unitate minor sit quam multitudo 
aequationum. his secundum methodos algebraicas notas rite combinatis omnes 
et, fi etc. X, p etc. rationaliter et sine ulla radicum extractione per u et coëffi- 
cientes B, C etc. determinari posse, adeoque valores reales nancisci, simulae u 
realis fiat. Praeterea vero omnes a, fi etc. X, p etc, eliminari poterunt, ita ut 
prodeat aequatio U = 0, ubi U erit functio integra solius u et coëfficientium 
cognitorum. Hanc aequationem ipsam per methodum eliminationis vulgarem evol 
vere, opus immensum foret, quando aequatio proposita X = 0 est gradus ali- 
2 *