12 
DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS 
quantum alti; et pro gradu indeterminato, plane impossibile (indice ipso E. p. 239). 
Attamen hic sufficit, unam illius aequationis proprietatem novisse, scilicet quod 
terminus ultimus in U (qui incognitam u non implicat) necessario est negativus, 
unde sequi constat, aequationem ad minimum unam radicem realem habere, sive 
u et proin etiam a, etc. X, [jl etc. ad minimum uno modo realiter determinari 
posse: illam vero proprietatem per sequentes reflexiones confirmare licet. Quum 
x m — ux m ~ x --\- etc. supponatur esse factor functionis X: necessario u 
erit summa m radicum aequationis X — 0, adeoque totidem valores habere de 
bebit, quot modis diversis ex 2m radicibus m excerpi possunt, sive per princi- 
pia calculi combmationum i- valores. Hic numerus sem- 
per erit impariter par (demonstrationem haud difficilem supprimo): si itaque po 
nitur = 2k, ipsius semissis k impar erit; aequatio [7=0 vero erit gradus 
2 k u . lam quoniam in aequatione X = 0 terminus secundus deest: summa 
omnium 2 m radicum erit 0; unde patet, si summa quarumcunque m radicum 
fuerit -\-p, reliquarum summam fore —p, i. e. si -\-p est inter valores ipsius 
u, etiam —p inter eosdem erit. Hinc E. concludit, U esse productum ex k 
factoribus duplicibus talibus uu—pp, UU'—qq, uu— rr etc., denotantibus -\-p, 
—p, -\-q, —q etc. omnes 2k radices aequationis [7=0, unde, propter mul 
titudinem imparem horum factorum, terminus ultimus in U erit quadratum pro 
ducti pqr etc. signo negativo affectum. Productum autem pqr etc. semper ex 
coefficientibus JB, C etc. rationaliter determinari potest, adeoque necessario erit 
quantitas realis. Huius itaque quadratum signo negativo affectum certo erit quan 
titas negativa. Q. E. D. 
Quum hi duo factores reales ipsius X sint gradus m tl atque m potestas 
numeri 2 : eadem ratione uterque rursus in duos factores reales dimensionum 
resolvi poterit. Quoniam vero per repetitam dimidiationem numeri m necessario 
tandem ad binarium pervenitur, manifestum est, per continuationem operationis 
functionem X tandem in factores reales secundi gradus resolutam haberi. 
Quodsi vero functio talis proponitur, in qua terminus secundus non deest, 
puta x lm -)- Aoo im ~ x -f- Bx? m ~~ 2 -f- etc. -f- M, designante etiamnum 2 m potestatem 
binariam, haec per substitutionem x = y — ^ transibit in similem functionem 
termino secundo carentem. Unde facile concluditur, etiam illam functionem in 
factores reales secundi gradus resolubilem esse. 
Denique proposita functione gradus designante n numerum, qui non