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als eine Vorlesung der königl. Gesellschaft der Wissenschaften übergeben, wor 
aus wir hier die Hauptmomente des Inhalts anzeigen wollen. 
Die transscendenten Functionen haben ihre wahre Quelle allemal, offen lie 
gend oder versteckt, im Unendlichen, Die Operationen des Integrirens, der Sum 
mationen unendlicher Reihen, der Entwickelung unendlicher Producte, ins Un 
endliche fortlaufender continuirlicher Brüche, oder überhaupt die Annäherung an 
eine Grenze durch Operationen, die nach bestimmten Gesetzen ohne Ende fort 
gesetzt werden — diess ist der eigentliche Boden, auf welchem die transscenden 
ten Functionen erzeugt werden, oder wenn man lieber sich eines andern Bildes 
bedienen will, diess sind die eigentlichen Wege, auf welchen man dazu gelangt. 
Zu einem Ziele führen gewöhnlich mehrere solcher Wege; die Umstände und die 
Zwecke, welche man sich versetzt, müssen bestimmen, welchen man zuerst oder 
vorzugsweise wählen will. Die Reihe, welche den Gegenstand gegenwärtiger Ab 
handlung ausmacht, ist von einer sehr umfassenden Allgemeinheit. Sie stellt, 
je nachdem die Grössen a, d, y (welche nebst x der Verfasser durch die Benen 
nungen erstes, zweites, drittes, viertes Element unterscheidet, so wie er, Kürze 
halber, die ganze durch die Reihe dargestellte Function mit den Zeichen F[a, f>, y, x) 
bezeichnet) so oder anders bestimmt werden, algebraische, logarithmische, tri 
gonometrische oder höhere transscendente Functionen dar, und man kann behaup 
ten, dass bisher kaum irgend eine transscendente Function von den Analysten un 
tersucht sei, die sich nicht auf diese Reihe zurückführen Hesse. Eine grosse 
Menge von Wahrheiten, welche in Beziehung auf solche schon in Betrachtung ge 
zogene Functionen schon aufgefunden sind, lassen sich aus der allgemeinen Na 
tur der durch unsere Reihen dargestellten Function ableiten, und schon um dess-^- 
willen würden Untersuchungen darüber die Aufmerksamkeit der Geometer-verdie 
nen , obwohl diess nur als Nebensache, und die Eröffnung des Zuganges zu neuen 
Wahrheiten als Hauptzweck zu betrachten ist. Gegenwärtige Abhandlung ent 
hält nur erst die Hälfte von den allgemeinen Untersuchungen des Verfassers, de 
ren zu grosser Umfang eine Theilung nothwendig machte. Hier gilt eben die 
Reihe selbst als Ursprung der transscendenten Functionen, welche in dem wei 
tern Verfolg der Arbeit aus einer allgemeiner anwendbaren Quelle werden abge 
leitet, und aus einem höheren Gesichtspunkte betrachtet werden. Die erstere 
Erzeugung macht, ihrer Natur nach, die Einschränkung auf die Fälle nothwen 
dig, wo die Reihe convergirt, also wo das vierte Element x, positiv oder negativ,