METHODUS NOVA INTEGRALIUM VALORES PER APPROXIMATIONEM INVENIENDI.
203
P
timmung
m merk-
sammen.
rofessors
und für
le von 0
auf diese
Ine Vor*
ier Inte-
ten Qua-
f die In-
ie Auflö-
ikte eine
;ur dann
rch jene
r Punkte
inen An-
von vier
näherten
= R ist,
ind noch
ire 17 07
, in wel-
errima et
utilissima regula nennt es Cotes) bewogen, diese Vorschriften weiter und bis auf
den Fall von 11 Ordinaten auszudehnen. Immer erscheint so der verlangte
Flächenraum in der Gestalt des Products der Basis, oder der Entfernung der
äussersten Ordinaten, in die Summe der durch bestimmte Zahlcoefficienten mul-
tiplicirten Ordinaten, und zwar haben zwei gleich weit vom Anfang und Ende
abliegende Ordinaten allemal gleiche Coefficienten. Diese Quadraturcoefficienten
bis zu dem Fall von 11 Ordinaten gibt Cotes am Schluss der Abhandlung de me
thodo differentiati, welche einen Theil der Harmonia mensurarum ausmacht, ohne
sich über das Verfahren, wodurch er sie berechnet hat, weiter zu erklären. Viel
leicht hat man es dieser anspruchlosen Kürze, womit bloss das Endresultat dar
gestellt ist, zuzuschreiben, dass diese schöne und zweckmässige Methode von den
Analysten weniger gekannt und benutzt zu sein scheint, als sie es verdient.
Bei dieser Methode liegt durchaus die Voraussetzung gleicher Abstände zwi
schen den Ordinaten zum Grunde. Allerdings scheint beim ersten Anblick diese
Voraussetzung am einfachsten und natürlichsten zu sein, und es war noch nicht
in Frage gekommen, ob es nicht demungeachtet noch vortheilhafter sein könne,
Ordinaten in ungleichen Abständen zum Grunde zu legen. Um diese Frage zu
entscheiden, musste zuerst die Theorie der Quadraturcoefficienten in unbeschränk
ter Allgemeinheit entwickelt, und der Grad der Genauigkeit des Resultats be
stimmt werden. Es zeigte sich, dass die Bedingungen, wovon dieser Grad der
Genauigkeit abhängt, von der Art sind, dass man dieselbe durch zweckmässig
gewählte Ordinaten in ungleichen Abständen allerdings verdoppeln kann, so dass
man mit einer beliebigen Anzahl gehörig gewählter Ordinaten eben so weit reicht,
als mit der doppelten Anzahl von Ordinaten in gleichen Abständen. Diese Un
tersuchungen , nebst der vollständigen Theorie der zweckmässigsten Auswahl der
Ordinaten, der dabei anzuwendenden Quadraturcoefficienten und der Bestimmung
des Grades der Genauigkeit, welchen dieses Verfahren gewährt, machen den
Hauptinhalt der vorliegenden Abhandlung aus.
Aus der kurzen Entwickelung der Theorie der CoTEsischen Quadraturcoeffi
cienten, welche der Verf. vorausschicken zu müssen glaubte, berühren wir hier
nur dasjenige, was den Grad der Genauigkeit betrifft, welchen die dadurch ge
fundenen genäherten Integrale haben. Vor allen muss hier bemerkt werden, dass
die Anwendbarkeit dieser Methode, eben so wie das Interpoliren, auf der Vor
aussetzung beruhe, dass die Ordinaten innerhalb des zu quadrirenden Raumes
2(5 *