OMNEM FUNCTIONEM ALGEBRA1CAM ETC. 
21 
si formula detur, 
ionaliter exhibeat, 
Hic enim valor 
valores ipsius M\ 
js irrationales esse 
rrationalem ipsius 
Ex hoc specimine 
isse satisfacientem, 
in theoriam elimi- 
14. 
Lemma. Si quantitas r angulusque cp ita sunt determinati, ut habeantur ae 
quationes 
r m cos m cp A r m ~ 1 cos [m — 1) cp -f- B r ?n—2 cos (m — 2) cp—|— etc. 
—|— Kr r cos 2 cp —J— L r cos cp —j— ilL = 0 . . [t 
r m sin m cp -J- A r m ~ x sin (m — 1) cp -|- B r m ~ 2 sin [m — 2) cp —j— etc. 
-j-JLrrsin 2 cp-f-i r sin cp = 0 . , [2] 
functio x m + A x m ~ l -f- -S + etc. Kxx-\-Lx-f M = X divisiUUis erit per 
factorem duplicem xx — 2 cos cp. rx -f- rr, si modo r sin cp non = 0; si vero r sin cp = 0. 
eadem functio divisibilis erit per factorem simplicem x — reos cp. 
Demonstr. I. Ex art. praec. omnes sequentes quantitates divisibiles erunt 
im. Sur la for me 
de Berlin 1772, 
sctus in Euleri de- 
ira (art. 8) obiectio- 
us est, ut nihil am- 
i super theoria eli- 
, superesse videan- 
lin etiam tota dis- 
11 gradus revera m 
per xx—2 cos cp .rx-\-rr: 
sinep.r# m — sin my.r m x sin (m — l)cp.r wl+1 
A sin cp. r x m ~ l — A sin (m — 1) cp. r m ~ 1 x-\- A sin [m — 2) cp. r m 
B sin cp, rx m ~ 2 —B sin [m — 2) cp. r m ~ 1 x-\-B sin {m—3) cp. r” 1-! 
etc. etc. 
Ksiny.rxx —ii sin 2 cp .rrx -f- ii sin cp . r 3 
L sin cf .rx — L sin cp .rx # 
ilisin cp. r. # -j~4isin (— cp). r 
Quamobrem etiam summa harum quantitatum per xx—2 coscp .r^-f-rr 
s, demonstrationem 
ititam peritis haud 
divisibilis erit. At singularum partes primae constituunt summam sincp.rX; 
secundae additae dant 0, propter [2]; tertiarum vero aggregatum quoque eva 
nescere, facile perspicitur, si [1] multiplicatur per sincp, [2] per coscp, pro- 
ductumque illud ab hoc subducitur. Unde sequitur, functionem sincp.rX di 
visibilem esse per xx—2coscp .rx-\-rr, adeoque, nisi fuerit rsincp = 0, etiam 
uemcunqne, functio 
n ,x— 2 cos cp. rx -}- rr. 
quemcunque facto- 
i valore maiori quo- 
f- sin (m — 1 )cp. 
?— 2 cos Cp . rx-frr, 
functionem X. Q. E. P. 
II. Si vero r sincp = 0, erit aut r = 0 aut sincp = 0. In casu priori erit 
M=0, propter [1], adeoque X per x sive per x — r coscp divisibilis; in poste 
riori erit cos cp = +1, cos 2 cp == —j— 1, cos 3 cp = +1 et generaliter cos n cp = cos cp". 
Quare propter [ 1 fiet X = 0 , statuendo x — r cos cp , et proin functio X per 
x — r coscp erit divisibilis. Q. E. S.