352
DETERMINATIO ATTRACTIONIS
16.
i I;
Quod attinet ad quantitates P, Q, manifesto quidem utraque iit
2(G + G')f
quoties G' = G", in omnibus vero reliquis casibus ad transscendentes sunt re
ferendae. Quas quomodo per series exprimere liceat, abunde constat. Lecto
ribus autem gratum fore speramus, si hacce occasione determinationem harum
aliarumque transscendentium per algorithmum peculiarem expeditissimum expli
cemus, quo per multos iam abhinc annos frequenter usi sumus, et de quo alio
loco copiosius agere propositum est.
Sint m, n duae quantitates positivae, statuamusque
ni — n = \J mn
ita ut ni, n resp. sit medium arithmeticum et geometricum inter m et n. Me
dium geometricum semper positive accipi supponemus. Perinde fiat
ni' — \[m -\-ri), n — \Jmn
m = ~\~n ), n ~ \J?n n
et sic porro, quo pacto series m, m, m”, ni” etc., atque n, n, n , n' etc. versus
limitem communem rapidissime convergent, quem per p designabimus, atque
simpliciter medium arithmetico-geometricum inter m et n vocabimus. Iam demon
strabimus, ~ esse valorem integralis
d?’
:\J{mmcos T 2 -\- nn sin T 2 )
a T= 0 usque ad T— 360° extensi.
Demonstr. Supponamus, variabilem T ita per aliam T' exprimi, ut fiat
m 2 msin T'
Sin 1 = . : rfu~o \ —rifUt
[m -f- n) cos 1 - 2 m sm T 2
perspicieturque facile, dum T' a valore 0 usque ad 90°, 180°, 27 0°, 360° augea
tur, etiam T (etsi inaequalibus intervallis) a 0 usque ad 90°, 180°, 27 0°, 360°
crescere. Evolutione autem rite facta, invenitur esse
d t cTT
\J (mm cos T 2 + /iwsin T 2 ) \/(m'm' cos T' 2 -f«V sin T' 2 )