NACHLASS. 
[ ARITHMETISCH GEOMETRISCHES MITTEL.] 
PARS I. 
DE ORIGINE PROPRIETATIBUSQUE GENERALIBUS NUMERORUM 
MEDIORUM ARITHM. GEOMETRICORUM. 
1. 
Sint | * * ' I duae progressiones quantitatum ea lege formatae, ut 
quilibet ipsarum termini correspondentes sint media inter terminos antecedentes, 
et quidem termini progressionis superioris media arithmetica, progressionis inferio 
ris geometrica, puta 
d\=^[a-\-b), h'=\Jah, d'=^[d-\-h'), b" = \Jdb\ d"=\[d'-\-b"), b'"— \Ja"b" etc. 
Supponemus autem, ipsos a, b esse reales positivos, et pro radicibus quadraticis 
ubique accipi valores positivos; quo pacto progressiones quousque libuerit produci 
poterunt, omnes ipsarum termini erunt plene determinati valoresque positivos rea 
les nanciscentur. Porro prima hic se fronte offerunt observationes sequentes: 
I. Si a = b, omnes utriusque seriei termini erunt = a = b. 
II. Si vero a, b sunt inaequales, erit [0!—V) [d-\-b') = \[a — b) 2 , unde 
concluditur b'<id, et perinde erit b"<^a", b'"<^d" etc., i. e. quivis terminus se 
riei inferioris minor erit quam correspondens superioris. Quocirca in hoc casu 
supponemus, esse etiam b<^a. 
III. Eadem suppositione erit d<^a, a<^a\ ¿*"]>&'etc.; progressio 
itaque superior continuo decrescit, inferior continuo crescit; hinc manifestum est, 
utramque habere limitem; hi limites commode exprimuntur per a™, b™. 
IV. Denique ex py -= = , ( .^p sequitur a'—b'<i(a—b), 
eodemque modo erit a"—b"<^\[d—b') etc. Hinc concluditur, a — b, d—b', 
46