Principia quibus haecce demonstratio innititur deteximus Initio Octob. 17 97. 
30 
DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS ETC. 
luta ipsius U decrescit. Si forte in puncto M valor absolutus ipsius U versus 
utramque partem decrescit, arbitrarium est, quorsum progrediaris; quid vero fa 
ciendum sit, si U versus utramque partem crescat, statim docebo. Manifestum 
est itaque, dum semper in linea prima progrediaris, necessario tandem te ad 
punctum perventurum, ubi U = 0 , aut ad tale, ubi valor ipsius U fiat mini 
mum, e.g. punctum N. In priori casu quod quaerebatur, inventum est; in poste 
riori vero demonstrari potest, in hoc puncto plures ramos lineae primae sese in 
tersecare (et quidem multitudinem parem ramorum), quorum semissis ita compa 
rati sint, ut si in aliquem eorum deflectas (sive huc sive illuc) valor ipsius U ad- 
hucdum decrescere pergat. (Demonstrationem huius theorematis, prolixiorem 
quam difficiliorem brevitatis gratia supprimere debeo.) In hoc itaque ramo iterum 
progredi poteris, donec U aut fiat = 0 (uti in fig. 4 evenit in P), aut denuo 
minimum. Tum rursus deflectes, necessarioque tandem ad punctum pervenies, 
ubi sit U = 0. 
Contra hanc demonstrationem obiici posset dubium, annon possibile sit, ut 
quantumvis longe progrediaris, et quamvis valor ipsius U semper decrescat, ta 
men haec decrementa continuo tardiora fiant, et nihilominus ille valor limitem 
aliquem nusquam attingat; quae obiectio responderet quartae in art. 6. Sed haud 
difficile foret, terminum aliquem assignare, quem simulae transieris, valor ipsius 
U necessario non modo semper rapidius mutari debeat, sed etiam decrescere non 
amplius possit, ita ut antequam ad hunc terminum perveneris, necessario valor 
0 iam affuisse debeat. Hoc vero et reliqua, quae in hac demonstratione addigi- 
tare tantummodo potui, alia occasione fusius exsequi mihi reservo.