ARITHMETISCH GEOMETRISCHES MITTEL. 
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\j2~ n . n a — \J2~ n ~ 2 . n+2 b — \J2~ w_4 . n+i b — ... — n + 2m b — .. . 
c) = \J 2~~ n . n c -f p~ n ~ 2 . n+2 b — \J 2~ n ~\ n+i b — ... — \J2 “ n ~ 2m . n+2m b - ... 
+ • • 
In den vier letzten Gleichungen ist statt der für beständig wachsendes m 
geltenden Grenzwerthe beziehungsweise von 
M [a m , b m ) ' l0 ö 4 c m * M ( m a, m c)' i0 S 4 m b ’ M ( m a, m e) * l0 » 2 m b 
das ist statt des Grenzwerthes von M(l,e)logÄ für bis zur Null abnehmende 
positive Werthe des e gesetzt. Es folgt nemlich zunächst aus jenen Gleichun 
gen , in welchen, wie die Relationen 
O 7 
^=1—- (-)* = 1+- '“=2 — 1 
leicht erkennen lassen, die zu logarithmirenden Werthe, so bald sie alle reell 
sind, vom zweiten Gliede der Reihe an beständig bis zur Einheit hin abneh 
men, dass die gesuchte Grösse eine völlig bestimmte und z. B., wenn man 
a = b\J 2 = c\J 2 setzt, eine zwischen den Grenzen flog 2 und V°l°g 2 einge 
schlossene Grösse ist. Die obigen Gleichungen gelten auch für complexe Wer 
the der Veränderlichen, wenn man n = 0 setzt und diejenigen Werthe der 
log m a, log m c, log«, log6, löge, loga m , logb m zu Grunde legt, welche durch 
stetige Änderung derselben aus den reellen Grössen folgen. Nimmt man nun 
alsein System (a,b,c) das der Bedingung a = b^2 = c\j2 unterworfene und 
aus reellen Grössen bestehende, ferner als anderes System (a, b, y) dasjenige, 
für welches a = c, b = 6\/—1, y = a b\J2 = c\J 2 ist und die durch Wur 
zel-Ausziehung zu bestimmenden Werthe von b m und m y positive reelle Theile 
erhalten, so kann man ein drittes veränderliches System [A, B, C) aufstellen, 
welches von dem einen (a, b, c) zu dem andern (a, y) stetig übergeht, und zwar 
m. 48