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NACHLASS. 
und als specielle Fälle der dortigen Gleichungen [90] und [96] der oben Art. 12 
gefundene Grenzwerth von M (1, e) log ~ und die im vorigen Artikel aufgestellte 
Differentialgleichung erster Ordnung zwischen M{a, b) und M(a,c) ergeben.] 
15. 
[Die Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Glieder der Reihe des 
arithmetisch geometrischen Mittels nimmt eine Form an, in welcher sie Differen 
tiale nur von Quotienten der Veränderlichen enthält, wenn man mit einer belie 
bigen Grösse e den Ausdruck D-j-d(-^ dlog—j— ^ (dloge) 2 bildet, dieser wird 
nemlich 
1 (diog£; 2 
4 A 
ein Ausdruck, dessen Werth also unabhängig von n ist und sich auch nicht än 
dert, wenn man b n und c n oder c 1 und a n statt a 1 und 6 n setzt. Derselbe ver 
wandelt sich für beständig wachsende positive und für negative n in 
-^MK^dliMi-^dM) und in -eM(a,c).d 
M(a, c) 
:AM (a,c) 2 ~ c » 
dagegen für n gleich Null und für a, b, c als besondere Werthe von e bezie 
hungsweise in -f-A hbcc, —A ccaa, —A aahb. 
Setzt man also zur Abkürzung 
Vm (a.b) P* ^ M [a, b) — i* ^ 
r, 
TU 
M(o,6) 
log y 
M(o,4) »M — V M (a, b) ' ’ 
so wird mit Rücksicht auf die Gleichung für A in Art. 1 3 : 
i k - 
T M («, bf = 4 d logy = ~ d log r ~ = 1 d log r - = 1 d log £ 
PP_ j / i j J \ qq_ i / i rr i , i , i v 
^d logp pp) r*’p t ’ 'dlogy ’ qq) 'dlogy ’ rr') 
A 
und von gleicher Form werden die Ausdrücke des 
d-J- 
v M(a, 
o)' 
v'i 
M(a, cf in 
M (a, c) 
TU 
M (a, c) ’ V M {a, c)' "M [a,b) 
Die Elimination von je zwei der drei Grössen p, q, r ergibt 
! P* dlogp 
d log [ 
i6 
P 6 dlogy 'dlogi/ 
d(: 
A f„W 
16 
dijA-dA- 1 = ° 
p 6 dlogy Mlog?/' pp