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NACHLASS. 
Dass das hier angedeutete Gesetz für die Bildung der Glieder das allge 
mein gültige ist, scheint Gauss unter Anderem auch auf folgende Art bewiesen 
zu haben. Neben den. entsprechenden Gleichungen, welche sich auf Reihen mit 
zwei Argumenten beziehen und weiter unten in Art. 23 und 25 Platz finden wer 
den, hat Gauss sich die Aufzeichnung gemacht:] 
Zur Theorie der Zerlegung der Zahlen in vier Quadrate. 
Das Theorem: das Product zweier Summen von vier Quadraten ist seihst eine 
Summe von vier Quadraten, wird am einfachsten so dargestellt: 
es seien l m, X, ¡i, X', f sechs complexo Zahlen, so dass X, X' und [x, f sociirt sind. 
Durch N bezeichne man die Norm. Es ist dann 
(N/-f-Nm)(NX-)- Np.) = N(/X-j-m{i,)-)-N(/{x'—ml!) 
[und also auch 
f N (n + i n ) + N (»„+ inj j j N (1 — i) -f- N (1-f Í) | 
= N Í i n + «,+ n ~ n J + *(—« + njr n-f- nj j 
+ N {(w 4- n—n t Jr nj — i (-f- n — nfr n-f nj j 
Hieraus lassen sich leicht die beiden folgenden Sätze ableiten, in welchen 
verschiedene Darstellungen einer Zahl durch eine Summe von vier Quadratzahlen 
sich beziehen auf die verschiedenen Werthensysteme der vier Wurzeln mit Be 
rücksichtigung sowol der Zeichen als auch der Reihenfolge der Wurzeln, worin 
ferner unter den geraden Zahlen auch die Null mit begriffen wird. 
Ist das Vierfache einer Zahl von der Form durch vier ungerade 
Quadratzahlen darstellbar, so ist sie selbst halb so oft durch eine ungerade und 
drei gerade Quadratzahlen darstellbar, und umgekehrt, ist eine Zahl in der letz 
tem Weise darstellbar, so ist ihr Vierfaches doppelt so oft in der ersten Weise 
darstellbar. 
Ist das Vierfache einer Zahl von der Form 4 Z: —{— 3 durch vier ungerade 
Quadratzahlen darstellbar, so ist sie selbst halb so oft durch eine gerade und 
drei ungerade Quadratzahlen darstellbar und umgekehrt, ist eine Zahl in der letz 
tem Weise darstellbar, so ist ihr Vierfaches doppelt so oft in der erstem Weise 
darstellbar. 
Mit Hülfe dieser beiden Sätze lässt sich unmittelbar beweisen, dass die 
obigen Reihen der Gleichung r(^) 4 = p[yf—^(y) 4 genügen, und ferner durch