ARITHMETISCH GEOMETRISCHES MITTEL. 
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die wiederholte Anwendung dieser Relation, dass, wenn man nach dem Schema 
p-\-q = 2/, p — q = 2 r\ [p"f— [?")*== [q'Y 
aus den Werthen der Quadrate der beiden ersten Reihen, nemlich pp und qq, 
als Anfangsglieder die Glieder des Algorithmus eines arithmetisch geometrischen 
Mittels für positive gerade Indices bildet, auch 
/ n - p (/”). q 2n = qi/ n ). ^ 2n = r{/ n ) 
wird. 
Durch Übergang zu dem Grenzwerthe von n entsteht also nach Art. 12 : 
M{pp, qq) = 1, 
tz M{pp, qq) 
2 rr) 
17. 
[Aus den im vorhergehenden Artikel abgeleiteten Eigenschaften der durch 
die dort aufgestellten Reihen detinirten Functionen p, q, r folgt, dass, wenn 
a, b, c drei die Gleichung aa = bb-\-cc erfüllende Grössen sind, sie in die Form 
gesetzt werden können 
a = M [a, b). {pyf, b = M (a, b). [qyf, c = M(a, b). (ry) 2 
und dass dann 
TZ M (a, c) 
a = M(a,c). (pzf, c 
sein muss. Setzt man nun noch 
= M (a, c). (qz) 2 , b = M(a, b). [rzf 
so wird 
logz M(«, c) TZ 
tz M(a,&) logy 
Der durch die Vereinigung dieser beiden Darstellungen sich ergebende Satz 
ist von Gauss so ausgesprochen, dass die Functionen 
= 1 -f- 2e~ nt -\-2e~ int -j-2<r 9 ** + . . -\-2e~ nnnt -f- . . 
Oi — i — 2e~ nt -\-2e~ A7zt —2e~ 9nt + . . +2e“ w + . . 
9tt — 2e~** f -\-2e~ 1 * 1 -\-2e~ VKt . . -f-2+ . . 
den Gleichungen 
in. 
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