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ANZEIGEN.
können auch die daraus abgeleiteten Grössen auf keine absolute Richtigkeit An
spruch machen: die verschiedenen für u angewandten Functionen werden, all
gemeinzureden, ungleiche, aber was die Hauptsache ist, ungleich zuverlässige
Resultate geben. Die Aufgabe ist nun, aus der unendlichen Mannigfaltigkeit von
Functionen, durch welche die unbekannte Grösse ausgedrückt werden kann, die
jenige auszuwählen, bei deren Resultat die möglich kleinste Unzuverlässigkeit zu
befürchten bleibt.
Die Abhandlung gibt eigentlich zwei Auflösungen dieser Aufgabe. Die
erste Auflösung erreicht das Ziel auf dem kürzesten Wege, wenn wirklich nur
Eine unbekannte von den Beobachtungen auf eine vorgeschriebene Art abhängige
Grösse abzuleiten ist. Allein die nähere Betrachtung dieser Auflösung führt zu
gleich auf das merkwürdige Theorem, dass man für die unbekannte Grösse ge
nau denselben Werth, welcher aus der zweckmässigsten Combination der Be
obachtungen folgt, erhält, wenn man an die Beobachtungen gewisse nach be
stimmten Regeln berechnete Veränderungen anbringt, und sie dann in irgend
einer beliebigen Function, welche die unbekannte Grösse ausdrückt, substituirt.
Diese Veränderungen haben neben der Eigenschaft, dass sie allen Bedingungs
gleichungen Genüge leisten, noch die, dass unter allen denkbaren Systemen,
welche dasselbe thun, die Summe ihrer Quadrate (in so fern die Beobachtungen
als gleich zuverlässig vorausgesetzt wurden) die möglich kleinste ist. Man sieht
also, dass hierdurch zugleich eine neue Begründung der Methode der kleinsten
Quadrate gewonnen wird, und dass diese von der Function u ganz unabhängige
Ausgleichung der Beobachtungen eine zweite Auflösungsart abgibt, die vor der
ersten einen grossen Vorzug hat, wenn mehr als Eine unbekannte Grösse aus den
Beobachtungen auf die zweckmässigste Art abzuleiten ist: in der That werden die
Beobachtungen dadurch zu jeder von ihnen zu machenden Anwendung fertig vor
bereitet. Nur musste bei dieser zweiten Auflösung noch eine besondere Anleitung
hinzukommen, den Grad der Genauigkeit, der bei jeder einzelnen Anwendung
erreicht wird, zu bestimmen. Für dies alles enthält die Abhandlung vollständige
und nach Möglichkeit einfache Vorschriften, die natürlich hier keines Auszuges
fähig sind. Eben so wenig können wir hier in Beziehung auf die, nach der Ent
wicklung der Hauptaufgaben, noch ausgeführten anderweitigen Untersuchungen,
welche mit dem Gegenstände in innigem Zusammenhänge stehen, uns in das Ein
zelne einlassen. Nur das Eine merkwürdige Theorem führen wir hier an, dass