DIE THEILE EINER GEGEBNEN FLÄCHE AUF EINER ANDERN ABZUBILDEN ETC. 
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AA + BB+CC, AA+BB'-\-CC\ AÄ+B'B'+C'C 
Wenn den Endpunkten eines zweiten Elements auf der ersten Fläche die Werthe 
t, u und 
entsprechen, so ist der Cosinus des Winkels, welchen dasselbe mit dem ersten 
Elemente macht, 
(ad^-f a'd u) (« 8 t a'8 u) + (b d t + 8'd u) (5 81 + V 8 u) -f- (c d t + c'd u) (c 8 t -(- c'8 u) 
y/((«d t + a'du) 2 ,-j- (¿d t + b'd w)* + (c d t + c'd«<) 2 ). [{aht -f- a' 8 u) s -)- {bot + b'bu)* + [c81 + c'8 m) 2 ) 
und für den Cosinus des Winkels zwischen den correspondirenden Elementen 
auf der zweiten Fläche ergibt sich ein ganz ähnlicher Ausdruck, wenn nur 
a, b, c, a, b\ c in A, B, C, Ä, B', C' verwandelt werden. Offenbar werden beide 
Ausdrücke einander gleich, wenn die obige Proportionalität Statt findet, und die 
zweite Bedingung wird daher schon mit in der ersten begriffen, welches auch bei 
einigem Nachdenken von selbst klar ist. 
Der analytische Ausdruck der Bedingung unserer Aufgabe ist demnach, dass 
AA + BB+CC __ AA'+ BB'+CC A'A’+ B'B’+ C’C 
aa + bb -j- c c a a' + b b' -f- c c' a'a' + b' b' -f- c'c' 
werden muss, welches eine endliche Function von t und u sein wird, die wir 
= mm setzen wollen. Es drückt dann m das Verhältniss’aus, in welchem die 
Lineargrössen auf der ersten Fläche in ihrer Abbildung auf der zweiten vergrössert 
oder verkleinert werden (je nachdem m grösser oder kleiner ist als 1). Dieses 
Verhältniss wird, allgemein zu reden, nach den Stellen verschieden sein: in dem 
speciellen Falle, wo m constant ist, wird eine vollkommene Aehnlichkeit auch 
in den endlichen Theilen, und wenn überdiess m = 1 ist, wird eine vollkom 
mene Gleichheit Statt finden, und die eine Fläche sich auf die andere abwickeln 
lassen. 
5. 
Indem wir Kürze halber 
{aa-\-bb-\-cc)dt^-{-2 [aa-\~ hb'-\-cc)dt. du-\-{aa-\-b'b'-\-cc)du 2 = a> 
setzen, bemerken wir, dass die Differentialgleichung o> = 0 zwei Integrationen 
zulassen wird. Indem man nemlich das Trinomium w in zwei, in Beziehung auf 
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