DIE THEILE EINER GEGEBNEN FLÄCHE AUF EINER ANDERN ABZUBILDEN ETC. 
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Diese Integrationen lassen sich (die allgemeinen Schwierigkeiten des Inte- 
grirens bei Seite gesetzt) offenbar vor der Auflösung unserer Hauptaufgabe aus 
führen. 
Wenn nun für T, U solche Functionen von t, u substituirt werden, wo 
bei die Bedingung unsrer Hauptaufgabe erfüllt wird, so geht Q in mmu> über, 
und es wird 
(dP-f-i'd Q). (dP—edQ) mmn 
{A.p. (dp — *’dg') N 
Man sieht aber leicht, dass der Zähler im ersten Theile dieser Gleichung durch 
den Nenner nur dann theilbar sein kann, wenn 
entweder dP-j-*dQ durch dp-f-zd^, und dP—¿dQ durch dp—idq, 
oder dP-f-idQ durch dp— idq, und dP—¿dQ durch dpidq 
theilbar ist. Im ersteren Falle wird demnach dP-j-^dQ verschwinden, wenn 
dpidq = 0, oder P-\-iQ wird constant werden, wenn p-\-iq constant an 
genommen wird, d. i. P-\-iQ wird bloss Function von p-\~iq sein, und eben 
so P — iQ Function von p — iq. Im andern Falle wird P-\-iQ Function von 
p — iq, und P — iQ Function von p~\~iq sein. Es ist leicht einzusehen, dass 
diese Folgerungen auch umgekehrt gelten, nemlich dass, wenn für P-\-iQ, P—iQ 
Functionen von p-\-iq, p — iq (entweder respective, oder verkehrt) angenommen 
werden, die endliche Theilbarkeit des Q durch co, und sonach die oben erfor 
derlich gefundene Proportionalität Statt haben wird. 
Man überzeugt sich übrigens leicht, dass wenn z. B, 
P-MQ =/Cp+*s r ) 
P—iQ =f\p—iq) 
gesetzt werden, die Beschaffenheit der Function f schon durch die von f be 
dingt wird. Wenn nemlich unter den constanten Grössen, welche letztere etwa 
involviren mag, keine andere als reelle befindlich sind, so wird die andere f 
mit der f ganz identisch sein müssen, damit jedesmal reellen Werthen von p, q 
reelle Werthe von P, Q entsprechen; im entgegengesetzten Falle wird sich f 
von f nur dadurch unterscheiden, dass in den imaginären Elementen von f statt 
i überall das entgegengesetzte — i gesetzt werden muss. 
Man hat hiernächst