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ALLGEMEINE AUFLÖSUNG DER AUFGABE
Dieses Resultat lässt sich auch so ausdrücken; Indem die Charakteristik f eine
beliebige Function bedeutet, hat man den reellen Theil von f{x-j-iy) für X,
und den imaginären Theil, mit Weglassung des Factors i, entweder für F oder
für — Y anzunehmen.
Gebraucht man die Charakteristiken cp, cp' in der Bedeutung des Art. 7
und setzt
cp [x -(- iy) = i + cp'(,2?— *&) — £—
wo offenbar £ und tj reelle Functionen von x und y sein werden, so hat man,
in der ersten Auflösung,
d X -f- * d Y — (£ -J- irj) (d^’-f- idy)
dX—¿dF = (£— irj) (d<3? — idy)
und folglich
dX = %dx — Tj d y
dF = rjd x-{-^dy
Macht man nun
£ = a.cosy, ij = a.siny
dx = d s . cosg , dy = ds . sing
dX=d$.cosG, dFr=d$.sinG
so dass ds ein Linearelement in der ersten Ebne, g dessen Neigung gegen die
Abscissenlinie, d$ das correspondirende Linearelement in der zweiten Ebne
und G dessen Neigung gegen die Abscissenlinie bedeutet, so geben die obigen
Gleichungen
dS. cos G =■ a. di. cos(^-f-y)
d$. sin G — a.ds. sin [g-\-y)
und folglich, wenn man, was erlaubt ist, a als positiv betrachtet,
dS = a.ds, G — g-\- y
Man sieht also (in Uebereinstimmung mit Art. 7), dass a das Verbältniss der Ver-
grösserung des Elements ds in der Darstellung d$ vorstellt, und, wie gehörig,
von g unabhängig ist; und eben so zeigt die Unabhängigkeit des Winkels y von
g, dass alle von einem Punkte ausgehende Linearelemente in der ersten Ebne