204 
ALLGEMEINE AUFLÖSUNG DER AUFGABE 
Es wird daher, wenn wir wiederum durch die Charakteristik / eine will 
kürliche Funktion andeuten, X dem reellen und i Y dem imaginären Theile von 
/■(i-j-ilog cotang^-w) 
gleich gesetzt werden müssen. Wir wollen ein Paar specielle Fälle dieser allge 
meinen Auflösung anführen. 
Wählt man für f eine lineäre Function, indem man fo — kv setzt, so wird 
X = kt, Y= ¿logcotah g{-u 
Auf die Erde angewandt, ist dies, wenn man t die geographische Länge, 90°—u 
die Breite bedeuten lässt, offenbar mit Mercatoes Projection einerlei. Für das 
Vergrösserungsverhältniss geben hier die Formeln des 7. Artikels 
k 
m = —— 
asm« 
Nimmt man für f eine imaginäre Exponentialfunktion, und zwar zuerst die 
einfachste fu = ke w , so wird 
/(i-f-ilogcotang^-M) — Äe logtang * M + * # — £tangf«(cosf-|-tsin*) 
und 
X = Ätang-^w. cos t, Y = Ä-tang-fw. sin t 
welches, wie man leicht sieht, die stereographische Polarprojection ist. 
Setzt man allgemeiner /u = so wird 
X = &tang4-w A . cosXi, Y = &tang^iP. sinXi 
Für das Vergrösserungsverhältniss erhalten wir hier 
n — aasinw 2 , X— 1, cpu = i\ke^ u 
und hieraus 
m — 
X k tang \ u 
asin« 
Man sieht, dass hier die Darstellung aller Punkte, für welche u constant 
ist, in Einen Kreis, und die Darstellung aller Punkte, für welche t constant ist, 
in Eine gerade Linie fällt, wie auch, dass die allen verschiedenen Werthen von 
u angehörigen Kreise concentrisch sind. Dies gibt eine sehr zweckmässige Kar- 
tenprojection, wenn nur ein Theil der Kugelfläche darzustellen ist, und man thut 
dann am besten, X so zu wählen, dass das Vergrösserungsverhältniss für die