CIRCA SUPERFICIES CURVAS.
239
perfide data, cuius indoles exprimitur per aequationem Pdx-\-Qdy-\-Rdz — Q,
etiam variationes Sx, dy, Sz satisfacere debent aequationi Pdx-\- Qdy-4- Rdz = 0,
unde per principia nota facile colligitur, difierentialia
rl dx ^ d y i dz
1 v/(dx z + dy 2 +Az 2 ) » a ^(dx 2 + Ay 2 + d?) ’ a ^(d^ + dy* + d?)
resp. quantitatibus P, Q, P proportionalia esse debere. lam sit dr elementum
lineae curvae, X punctum in superficie sphaerica repraesentans directionem huius
elementi, L punctum in superficie sphaerica repraesentans directionem normalis
in superficiem curvam; denique sint £, tj, C coordinatae puncti X, atque X, Y, Z
coordinatae puncti L respectu centri sphaerae. Ita erit
do? = £dr, d y = r]dr, dz = Cd r
unde colligimus, difierentialia illa fieri d£, dr], dC Et quum quantitates P, Q, R
proportionales sint ipsis X, Y, Z, character lineae brevissimae consistit in ae
quationibus
d| drj d£
X Y Z
Ceterum facile perspicitur, \J (dz 2 -f- drj 2 d C 2 ) aequari arculo in superficie sphae
rica, qui mensurat angulum inter directiones tangentium in initio et fine elementi
dr, adeoque esse — y, si p denotet radium curvaturae in hoc loco curvae bre
vissimae; ita fiet
pd£ = Xdr, pdr] = Ydr, pdC = Zdr
15.
Supponamus , in superficie curva a puncto dato A proficisci innumeras cur
vas brevissimas ; quas inter se distinguemus per angulum, quem constituit sin
gularum elementum primum cum elemento primo unius ex his lineis pro prima
assumtae: sit cp ille angulus, vel generalius functio illius anguli, nec non r lon
gitudo talis lineae brevissimae a puncto A usque ad punctum. cuius coordinatae
sunt x, j/, 2. Quum itaque valoribus determinatis variabilium r, cp respondeant
puncta determinata superficiei, coordinatae x, y, z considerari possunt tamquam
functiones ipsarum r, cp. Notationes X, L, t], C, X, Y, Z in eadem significa-