CIRCA SUPERFICIES CURVAS.
241
Theorema. Ductis in superficie curva ab eodem puncto initiali innumeris lineis
brevissimis aequalis longitudinis, linea earum extremitates iungens ad illas singulas
erit normalis.
Operae pretium esse duximus, hoc theorema e proprietate fundamentali li
nearum brevissimarum deducere: ceterum eius veritas etiam absque calculo per
sequens ratiocinium intelligi potest. Sint AB, AB' duae lineae brevissimae eius
dem longitudinis, angulum infinite parvum ad A includentes, supponamusque,
alterutrum angulorum elementi BB' cum lineis В A, B'A differre quantitate
finita ab angulo recto, unde per legem continuitatis alter maior alter minor erit
angulo recto. Supponamus, angulum ad В esse =90°—w, capiamusque in
linea В A punctum C, ita ut sit BC=BB'. cosecw: hinc quum triangulum
infinite parvum BB'C tamquam planum tractare liceat, erit CB'=BC. costo,
et proin
AC+CB' = AC+B C.costa = AB — BC.[\ — costo) = AB’— BC[\—cosw)
i. e. transitus a puncto i ad 5' perpunctum C brevior linea brevissima. Q. E.A.
16.
Theoremati art. praec. associamus aliud, quod ita enunciamus. Si in su
perficie curva concipitur linea qualis cunque, a cuius punctis singulis proficiscantur
sub angulis rectis et versus eandem plagam innumerae lineae brevissimae aequalis lon
gitudinis, curva, quae earum extremitates alteras iungit, illas singulas sub angulis
rectis secabit. Ad demonstrationem nihil in analysi praecedente mutandum est,
nisi quod cp designare debet longitudinem curvae datae inde a puncto arbitrario
numeratam, aut si mavis functionem huius longitudinis; ita omnia ratiocinia
etiamnum valebunt, ea modificatione, quod veritas aequationis S = 0 pro r 0
nunc iam in ipsa hypothesi implicatur. Ceterum hoc alterum theorema genera
lius est praecedente, quod adeo in illo comprehendi censeri potest, dum pro li
nea data adoptamus circulum infinite parvum circa centrum A descriptum. De
nique monemus, hic quoque considerationes geometricas analyseos vice fungi
posse, quibus tamen, quum satis obviae sint, hic non immoramur.
17.
Revertimur ad formulam \J{Edp 2 -\-2Fdp .dq-\- Gdq 2 ), quae indefinite
39
