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ANZEIGEN.
die Natur der krummen Fläche durch eine Gleichung zwischen x, y, z, bestimmt
ist, und noch zusammengesetzter wird jener, wenn die Natur der krummen
Fläche dadurch gegeben ist, dass x, y, s in der Gestalt von Functionen zweier
neuen veränderlichen Grössen p, q dargestellt sind. Im letzten Fall enthält der
Ausdruck fünfzehn Elemente, nemlich die partiellen Differentialquotienten der
ersten und zweiten Ordnung von <2?, y, z nach p und q: allein er ist weniger
wichtig an sich, als weil er den Übergang zu einem andern bahnt, der zu den
merkwürdigsten Sätzen in dieser Lehre gerechnet werden muss. Bei jener Art,
die Natur der krummen Fläche darzustellen, hat der allgemeine Ausdruck für
irgend ein Linearelement auf derselben,
oder für ^(d^-f-d^-j-clz 2 ), die Form \J{Edx z -\-2F'dx.dy~\-Gdy z )
wo E, F, G wiederum Functionen von p und q werden; der erwähnte neue
Ausdruck für das Krümmungsmaass enthält nun bloss diese Grössen, und ihre
partiellen Diiferentialquotienten der ersten und zweiten Ordnung. Man sieht also,
dass zur' Bestimmung des Krümmungsmaasses bloss die Kenntniss des allgemei
nen Ausdrucks eines Linearelements erforderlich ist, ohne dass es der Ausdrücke
für die Coordinaten x, y, z selbst bedarf. Eine unmittelbare Folge davon ist
der merkwürdige Lehrsatz: Wenn eine krumme Fläche, oder ein Stück dersel
ben auf eine andere Fläche abgewickelt werden kann, so bleibt nach der Ab
wickelung das Krümmungsmaass in jedem Punkt ungeändert. Als specieller Fall
folgt hieraus ferner: In einer krummen Fläche, die in eine Ebene abgewickelt
werden kann, ist das Krümmungsmaass überall = 0. Man leitet daraus sofort die
characteristische Gleichung der in eine Ebene abwickelungsfähigen Flächen ab,
nemlich, in so fern z als Function von x und^ betrachtet wird,
ddz ddz , ddz \ 2
dz 2 ' dy* ' da;. dy '
eine Gleichung, die zwar längst bekannt, aber nach desVerf. Urtheil bisher nicht
mit der erforderlichen Strenge bewiesen war.
Diese Sätze führen dahin, die Theorie der krummen Flächen aus einem
neuen Gesichtspunkte zu betrachten, wo sich der Untersuchung ein weites noch
ganz unangebautes Feld öffnet. Wenn man die Flächen nicht als Grenzen von
Körpern, sondern als Körper, deren eine Dimension verschwindet, und zugleich
als biegsam, aber nicht als dehnbar betrachtet, so begreift man, dass zweierlei