WELCHE DIE VIER SEITEN EINES GEGEBENEN VIERECKS BERÜHRT.
387
V. 2 a a sin 2 [A r — Ä) -f- 2 d’«'sin 2 (A<— A) -f- 2 d'd' sin 2 (A'—A)
-f- £ [sin 2 (A"— A') -f- sin 2 (A — A") •+• sin 2 (A— A) ]
— 4 arcos (A— cp) sin 2 (A"—A)
— 4 dr cos (A— cp) sin 2 [A — A' )
— 4 d'r cos (A"—cp) sin 2 [A—A) = 0
Das Aggregat, worin hier t multiplicirt erscheint, kann auch durch
4 sin (A"— A) sin (A"— A) sin (A— A)
ausgedrückt werden.
Behandelt man auf eine ähnliche Art die Gleichungen I, II, IV, so bekommt
man eine ähnliche Gleichung VI, die sich von V nur durch die Vertauschung der
Buchstaben a , A gegen a \ A' unterscheidet. Eliminirt man aus den beiden
Gleichungen V und VI die Grösse i, so sieht man leicht, dass daraus eine
Gleichung von der Form
VII. J5+ Cr cos cp-|-Dr sin cp = o
hervorgehen wird, wo B, C, D bekannte Grössen bedeuten. Man kann ihre
Werthe leicht darstellen, wir werden indess bald zeigen, wie man dieser Ent
wickelung überhoben sein kann. Aus der Gleichung VII ist klar, dass der Mit
telpunkt jeder die vier Seiten unsers Vierecks berührenden Ellipse in einer gera
den Linie liegt, welche gegen die Abscissen-Linie unter einem Winkel, dessen
Tangente = —geneigt ist, und dass der Durchschnitts-Punkt die Abscisse
— ^ hat. Die Lage dieser geraden Linie kann man aber viel leichter durch fol
gende Betrachtungen bestimmen. Eine Diagonale des Vierecks kann als eine ver
schwindende , die Seiten des Vierecks berührende Ellipse betrachtet werden, de
ren Mittelpunkt dann offenbar in der Mitte der Diagonale liegt. Hieraus folgt
leicht, dass die obige gerade Linie, welche der geometrische Ort der Mittelpunkte
aller die vier Seiten des Vierecks berührenden Ellipsen ist, keine andere sein
könne, als die, welche die Halbirungspunkte der beiden Diagonalen verbindet,
und welche demnach leicht gefunden werden kann. Hierüber füge ich noch zwei
Bemerkungen hinzn:
1) Fielen beide Halbirungs-Punkte in Einen zusammen (in welchem Falle
das Viereck ein Parallelogramm sein wird), so fällt freilich diese Bestimmung der
57*
