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BESTIMMUNG DER GRÖSSTEN ELLIPSE
M
M— 2 [a — rcos A) sin {A"—Ä)
M— 2 (d — rcos A') sin [A —A")
M — 2 [a— r cos Ä') sin [A r — A)
Man hat also offenbar eine Gleichung von der Form
y —j— d t —j— s r r —j— C = 66—uu = 4aalDt)
wo y, 3, s, C, gegebene Grössen sind, und dann wird r durch die Bedingung
des Maximums offenbar ans folgender quadratischen Gleichung zu bestimmen sein
3+ 2gr-f- 3Crr = 0
Noch leichter findet man die Coefficienten dieser Gleichung durch folgende
Betrachtung. Da das vierfache Product aus den Quadraten der halben grossen
und der halben kleinen Axe einer jeden Ellipse, welche die vier Seiten des Vier
ecks berührt und deren Mittelpunkt zur Abscisse r hat, allgemein
— y Cr 3
wird, so muss dieser Ausdruck nothwendig = 0 werden, wenn man für r einen
Werth substituirt, welcher einer der drei oben betrachteten verschwindenden El
lipsen entspricht. Diese drei Werthe sind die Abstände der beiden Halbirungs-
punkte der Diagonalen des Vierecks und des Halbirungspunktes der geraden Li
nie, welche die Durchschnitte der beiden Seiten-Paare des Vierecks verbinden,
von dem Anfangspunkte der Abscissen, Ich bezeichne diese drei Punkte durch
C, D, E, und ihre Abscissen durch c, d, e, so muss offenbar
mit dem Producte (r — c) (r — d) (r — e) identisch sein; folglich ist die obige qua
dratische Gleichung
3rr—‘lr[c-\-d-\-d)-\~ c d -\~ ce A~ de = 0
deren Wurzeln
c + d-\- e
s-\/ {c c d d e e c d e e d e)
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