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ZUSÄTZE
oder
a= 1 , 6=0
Der Nenner in dem Werthe von 5, tj ist der doppelte Inhalt des Dreiecks.
II.
Dass die Perpendikel in einem Dreiecke, aus den Spitzen auf die gegenüber
stehenden Seiten sich in einem Punkte schneiden, kann man sehr einfach so zeigen.
Das gegebene Dreieck sei BDF, und die erwähnten Perpendikel
BI, DG, FH.
Man ziehe durch jeden Scheitelpunkt des Dreiecks Parallelen mit der gegen
überstehenden Seite, die sich in den Punkten A, C, E, schneiden, es steht folg
lich FH auch auf AE, GD auf CE, BI auf AC senkrecht, und zwar ist
AB = B C
EI) = 1)C
ÄF = FE
Beschreibt man nun um das Dreieck ACE einen Kreis, so liegt sein Mittel
punkt sowohl in BI, als in DG, als in FH, diese drei Linien müssen sich
also in einem Punkte schneiden.
Puissant gibt in seinem Recueil des propositions de Geometrie einen zier
lichen analytischen Beweis, und fügt einen geometrischen bei, der nicht dasselbe
Verdienst hat.
[Erste handschriftliche Bemerkung.']
Sind a, 6, y die complexen Zahlen, die sich in natürlicher Ordnung auf die
drei Winkelpunkte eines Dreiecks beziehen; A, B, C die drei Winkel, u die
complexe Zahl für den Mittelpunkt des [umschriebenen] Kreises, so hat man
2 u = a-}-6+(6— a)cotgC.i = ot(l— ¿cotgC , )-)-6(l-f-icotgC')
= 6(1 — ¿cotg.4) -f~7 (l + i'cotg-4)
= y(l — ¿cotgR) —|— ot (1 —»cotg JB)