ZUR GEOMETRIE DER STELLUNG VON CARNOT. 
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VII. 
Entwickelung der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie. 
Sind a, b, c die Seiten: A, B, C die gegenüberstehenden Winkel eines 
sphärischen Dreiecks, so ist 
cos a — cos h. cos c -{- sin b. sin c. cos A 
wie Lagrange für den Fall, dass sowohl b als c kleiner wie 90°, elegant bewie 
sen hat. Indessen lässt sich der Beweis leicht auf alle andere Fälle ausdehnen. 
Es können folgende Fälle eintreten: 
1 6<90°, c < 90° 
Hier gilt der Beweis unmittelbar. 
II 6> 90°, c> 90° 
Man verlängere die Seiten b und c über die Punkte B und C hinaus 
bis zum Durchschnitte A, und bestimme den Werth von a aus der Betrachtung 
des Dreiecks A B C. 
III 6> 90°, c< 90° 
Man verlängere die Seiten b und a über die Punkte A und B hinaus bis 
zum Durchschnitte C, in dem Dreieck C AB ist sodann aus Fall I 
cos (180° — a) = cosc. cos (180° — 6)-J- sine. sin (1 80°— b). cos (1 80°—Ä) 
welches mit der Grundformel identisch ist. 
Mit diesem Falle ist b <<90° und c>90° wesentlich einerlei. 
IV b = 90°, A= 90° 
Hier ist C der Pol von AB, also nothwendig auch a = 90°. Folglich 
ist die Formel 
cos a =■ cos b . cos c -f- sin b. sin c. cos A 
von selbst evident. Mit diesem Falle ist c = 90°, H = 90° wesentlich einerlei. 
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