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ZUSÄTZE
V . b = 90°, A > 90°
1) c = 90°. Dann wird A der Pol von c, also b = 90°, und a — A.
Die Gleichung
cos a = cos b. cos c -j- sin b. sin c. cos A
ist von selbst evident.
2) c<^90°. Hier wird c über B hinaus bis zur Länge von 90° fortge
setzt. Aus der Betrachtung des Dreiecks folgt dann
cos a = cos (9 0°— c). cos A -j- sin (9 0°— c). sin A. cos 9 0°
oder
cos a = sin c. cos A
daher die Formel auch in diesem Falle richtig ist.
3) c>90°. Hier wird von c der Bogen 90° in dem Punkte R abgeschnit
ten , dann folgt aus Betrachtung des Dreiecks BRC
cos a = cos (c — 9 0°). cos A -j- sin [c — 9 0°). sin A. cos 9 0°
oder
cos a — sin c. cos A
wie im vorigen Fall.
Die Fälle, wo ö<^90° oder b^> 90°, und zugleich c = 90°, sind mit den
beiden vorigen wesentlich einerlei.
Zählt man also alle möglichen Fälle auf, so folgt der Beweis, wenn
Beide Seiten kleiner als 90°
aus
I
Beide Seiten grösser als 90°
aus
II
Eine grösser, die andere kleiner als 90°
aus
III
Beide =90°
aus
IV und V. 1,
Eine == 90°, die andere kleiner
aus
IV und V. 2
Eine = 90°, die andere grösser
aus
IV und V. 3
Wir können also allgemein annehmen:
cos a — cos b . cos c -)- sin b. sin c,
«
, cos A
und ebenso