ZUK GEOMETRIE DER STELLUNG VON CARNOT. 
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Man kann dieses auch durch folgende sechs Gleichungen ausdrücken: 
sin^l sini? sinC cos-l (A-\-BC) 
sina sin6 sine 2 sin-|-ö!. sin-J-5. sin^c 
cos-»-(— A-\-B + C) cos %{A-B-\-C) cos ±{A + B — C) 
2 sin a . cos h . cos £ c 2 cos£a. sin . cos|c 2 cos^« , cos-|S. sin-^e 
oder durch folgende 
sin A sinh sine — sinB sin« sine == sin C sin« sin& 
■— — 4cos^—|— A. —|— B —|— C7).cos-^■^•eos-j-ö.cos-g-c 
— 4 cos^(—C). cosFa. sin\h . sin-4c 
= 4 cos-j-(+^ — -B + C). sin4-«.cos^-6. sin4c 
= 4 cos■%-{-{-Ä-\-B— C). sin^-a. sin 4-5. cos 4-c 
Diese Grösse bedeutet den sechsfachen Inhalt der Pyramide, deren Ecken die drei 
Winkelpunkte des sphärischen Dreiecks und der Mittelpunkt der Kugel bilden, 
Halbmesser der Kugel = 1 gesetzt. Ferner ist diese Grösse 
= 4 cotangr.sinF«.sin|-6.sin^c 
wo r den sphärischen Halbmesser des um das Dreieck beschriebenen Kreises be 
deutet. Auch ist dieselbe 
— 4cosr.sinot.sin4-6.sin4-c 
wo [2 a, 2d, 2y die Winkel bedeuten, welche zwischen je zwei der nach den 
Eckpunkten A, B y C gezogenen sphärischen Halbmesser und gegenüber den 
kSeiten a, h, c liegen, oder] a, ß, y die Winkel des ebenen Dreiecks ABC 
sind, weil 2sin4-a, 2sin4-5, 2sin^-c dessen Seiten, mithin 4 sin a. sin\h. sin 4- c 
dessen doppelter Inhalt; während dasselbe zugleich als Grundfläche obiger Pyra 
mide mit Höhe cosr betrachtet werden kann, woraus die Richtigkeit von selbst 
erhellt. [Aus der obigen sechsfachen Gleichung leitet Gauss an einer andern 
Stelle die von ihm so vielfach angewandten Formeln her:l 
> cos 4- A. sin F (b — c) — sin y [B — C). sin\a 
sin4-A.sin(6-j-c) = cos—(7).sin4-ß 
cos|- A. cosF [h — c) = sinF(-B+ C). cos-4« 
sin 4- A. cos 4- (5 + c) = cos4r[B-{- C). cos4«